A-Level数学 | Edexcel P4 知识点:Proof by Contradiction-关于抬杠的哲学

Proof by Contradiction 

关于抬杠的哲学

When you have eliminated all which is impossible, then whatever remains, however improbable, must be the truth.

Proof by contradiction，让复习Edexcel P4的同学们会有一些抓狂。绕来绕去不清楚。相比较从逻辑上反推结论，直接用公式定理证出：

让同学们感觉更干脆利落。但事实上，我常跟学生讲，如果你能想清楚Proof by contradiction背后的逻辑，或许你能感受到一些数学的力量和美。

01、理解Proof by contradiction 我们需要先理解归谬

为了理解Proof by contradiction，我们需要先理解归谬，拉丁语：reductio ad absurdum，我们先举一个不那么精确的例子：

张三声明：我研发了一个无敌围棋AI，能确保无论对手是谁，都一定能赢。

数学老师：如果让两个无敌围棋AI对弈，根据张三的论述，执黑一定会赢，执白一定会赢。围棋规定只有一个赢家。矛盾产生，原命题错误。

谬误与矛盾，是Proof by contradiction的根本。

当你想证明“A”为真，你可以假设 “A的反面”为真。通过证明“A的反面”为假，证明“A”为真。“A”和“A的反面”必然一真一假。

这个道理很好理解，你不可能投出一枚硬币，正面反面都朝上。那么在P4考试中应对所有的题目，难点都在于如何找到“反面”从而推理出矛盾。

02、两个简单的例题

大致理解Proof by contradict答题技巧

01

题目意思是：对于所有的偶数n，n³， 都是偶数。

那么这句话的反面应该是：存在一个奇数n，n³偶数。假设这句话为真。转成数学的语言：

which is not even

我们证明对于所有的奇数，假设都不成立。如果假设不成立原始的命题就必然成立。

02

此题需要我们证明：没有最大的奇整数。我们找到“反面”：假设，有最大的奇整数。翻译成数学语言：

存在一个最大的奇整数n=2k+1，那么n+2=2k+3也是一个奇数，并且很明显n+2>n

这个例题中，我们从n 是最大奇整数出发，通过简单的逻辑推导出n不是最大奇整数的矛盾。通过假设是错误的证明：不存在最大奇整数。

通过这两个简单的例题，我们大致能够理解Proof by contradict的答题技巧：

1️⃣ 直接假设题目的“反面”是真的。

2️⃣ 以此为基础，进行推理，（记住目标是找到谬误或者矛盾）。

3️⃣ 找到矛盾，题目得证。

而在一些具体的题目中，“反面”可能存在多种情况。这时候，记住开篇的那句话：“排除掉所有不可能，剩下的，再奇怪也是真相”。

理解Proof by contradiction，不仅能帮助同学们在考试中拿分。对于同学们思考现实问题、谨防上当受骗、甚至网络对线（当然不建议大家上网对线）都极有裨益。

最后用一个简单的命题结束本篇：如果你看到这里，你一定非常热爱数学。