ALEVEL数学中常见的数学计算

做数学题最让同学们头疼的就是各种各样的数学计算了，那么数学计算的难易程度究竟该如何划分呢？今天就给大家从梳理一下朱老师认为的难度划分梯度，覆盖从小学一年级到高中毕业的知识点。希望能够让大家对ALEVEL数学计算的难度有一个简单的概念～

1 一星难度

（1）10以内的加减法：很多题目实际上想考察的是某个数学知识模块的道理，并不是想考察学生的计算能力，那么在最后计算的时候学生就会遇到10以内的加减法。

（2）10以内的一元方程：主要考察移项变号，尤其是减法和除法，考查学生基本的代数思维。不要小看一星难度，每年都有学生在这上面扣分，作为老师我的建议是…同学，要不你每天跑个3公里增加一下头部血液供氧量？

2‍ 二星难度

（1）100以内的加减乘除。不能一眼看出来，但是没有太大的理解难度。

（2）不含分数的100以内的一元方程。

3‍ 三星难度

（1）含有分数的100以内一元方程，主要增加的考察点是带有未知变量的通分处理。很多时候解题到了最后一步发现是一个100以内的分式，比如6x=65,x=65/6 如果是问题最后的答案，解出这样的数字是可以的，但是如果你在做题过程中遇到了这样的问题那就要注意了，很有可能你之前的计算有误，因为带着这样的式子进行后续计算，例如平方或者开根号，多项的加减之类是很困难的。这个时候可以回头检查一下看看前面有没有错误。

（2）二元一次方程（系数运算在20以内的），主要考察的是变量代换的能力计算能力训练网站：https://www.abcdtools.com/math/100-mul

4‍ 四星难度

系数在一百100 以内的二元一次方程，同时要处理100以内的运算以及变量代换，有时候还是容易出错的。

5‍ 五星难度：一元指数函数

2^(x+1)=512 需要熟知一些小的数字的幂， 比如 2 3 4 5 的不同次幂，尤其是2的不同次幂。我们在购买电子设备的时候，经常会用到2的次幂，比如4+64G存储量手机，8+128G存储量手机,512G的移动硬盘等等。

下面是一些常见的次幂(power)：

行：底（base） 列：幂(power)	2	3	4	5
1	2	3	4	5
2	4	9	16	25
3	8	27	64	125
4	16	81	256	625
5	32	243	1024
6	64	729
7	128
8	256
9	512
10	1024

6‍ 六星难度：基本三角函数的计算以及解与简单的三角方程

本身计算过程不是很复杂，只要熟知基本的几个角度的三角函数值即可，需要注意的是很多学生在解题的时候容易丢解，或者忽略题目给的自变量的取值范围。

7‍ 七星难度

（1） 解对数方程，以及包含对数的运算律的计算

（2）与二项展开相关的组合数的计算‍

这里教大家一个简单的记忆方法，C组合数必然伴随一个大数和一个小数，比如 就是10个中取出3个的组合数，那么分母和分子像贴对联一样，每个数字对位，然后分数线上面从大数10开始向下乘，分子从1开始向上乘，一共乘小数3个。

这样就不用记复杂的公式了。

（3）基本的幂函数的微分与积分。到这里第一次出现了让很多学生头疼的微积分部分的内容，其实基础的微积分计算并不困难，只是要熟悉一下积分符号和微分符号的用法，并熟练掌握各种形式的指数记号。 其中积分计算之后要加C也是一个难点。

8‍ 八星难度：解二次函数

‍‍‍‍很多题目最后为了增加一些计算量，都会在最后的计算过程中加入一个解二次函数的流程。

因为CIE和爱德思的出题思路是不希望不同模块的知识点混淆的太多，比如如果纯数的某张卷子的某道题考察的是对数函数的知识点，那么就基本不会涉及过多的其他模块（例如对数）的知识，但是很多题目又不想让解题方法过于直接或者计算思路过于简单，因此会在题目中加入解二次函数的计算。

主要的求解二次函数的方法就是公式法和因式分解法，配方法虽然也是重要的解题方法，但是我个人还是建议熟练掌握公式法和因式分解法即可，配方法因为其计算负担相对较重，因此除了在专门考察配方法的题目之外，在其他题目不用也可。

公式法：书写量比较大，但是心里负担不大，在考试的时候最好能把 a b c 写在别的地方，这样不容易带入出错。

因式分解法：需要训练自己的质因数分解，很多同学在小学学过了质因数分解之后就不再练习了，所以丧失了对一些数字的敏感度。这里我建议可以多做一些这样的题目和训练，增加自己对数字的敏感程度。

质因数分解训练：https://www.mathway.com/zh/Algebra

质因数分解训练小游戏：https://mrnussbaum.com/factorization-forest-online-game

这里有一个我觉得还不错的网站，你可以自己尝试不同数字组合的因式分解

https://zs.symbolab.com/solver/factor-calculator

9‍ 九星难度

需要用到和差角公式的三角函数的运算，这里就不仅要求学生能够掌握基本的三角函数的含义，也要求学生能够看出不同的角度可以如何被“拼接”起来。毕竟在和差角公式中，等式左边是一项，等式右边展开之后就是四项，计算量增加的还是比较快的。

不过这里同学们只要注意，对不使用计算器的题目来说，最终的计算一定还是会回归到基本的那几个角度（0,30,45,60,90,120,135,150,180等等）上去，因此只要耐心计算即可。

10‍‍‍ 十星难度

较为复杂的（可以直接套公式的）微分和积分。这里的题目稍作变形就可以让学生再解一些二次函数作为计算的收尾，因此主要难度还是在背公式（或者考场上现推公式）的计算上。

11‍ 十一星难度

需要基本技巧的的微积分计算，例如基本的Chainrule (复合一次)，和分部积分的方法。需要基本的形式代换技巧。尤其是换元法，考察学生对不同形式的数学表达式的熟悉程度。

12 十二星难度

十分复杂的综合微积分计算。一般包含大量的ChainRule和求导乘除法则方面的计算，在积分方面涉及换元积分和分部积分。主要的难度来源于较多的函数进行符合会产生很大的计算量，以及分部积分需要能够十分熟练的进行前两种难度的微积分运算。

这里给大家推荐一个网站，大家可以自己创造一些比较复杂的求导或者积分计算到这个计算其中，然后看看这里一步一步是怎么解出来的。比如下面这个就是我又一次上课突发奇想写的。

https://www.cymath.com/cn/practice/calculus

https://www.cymath.com/cn/

13‍‍ 十三星难度

以上所有的综合，考试题目中基本不会在一道题目里出现，但是要努力达到这种程度才能有信心最后拿到A*哦（笑）。

以上就是朱老师针对高中A-LEVEL数学级别的计算给大家进行的由易到难得整理，挂一漏万，希望对大家有帮助～