AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

本期分享AP微积分BC干货笔记:

在AP微积分BC的学习中,最后一章压轴出场了一段复杂繁琐的Series判别法则,很多同学做题目时不知道该使用哪种方法,想到了A,结果用成了B,还有同学甚至根本不记得ABC有什么,这些方法被用在判别级数敛散性(Test Methods for Convergence and Divergence),一个级数的敛散性用正确的方法识别,就好比千里马要遇到属于它的伯乐,怀才不遇的时候最渴望被人赏识认可了吧~

本期干货笔记的主人公:

Test Methods for Convergence and Divergence

本文目录

1.方法分类

2.例题解析

方法分类

1️⃣方法一:The nth Term Test(尾项判别法)

第一种方法也是用起来最简单的方法,我们假定存在级数an

如果 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),那么大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)diverges(发散)。但是如果大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),那么大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)是不是就converge(收敛)了呢,此处强调,并不是!此处极限值如果为0,就证明第一种nth Term Test无效,你需要尝试别的方法。

2️⃣方法二:Integral Test (积分判别法)

当正项级数an存在时(an>0),设f(n)= an , 当正函数f(x)为连续递减函数时(f(x)is positive, continuous and decreasing),简称当函数f(x)PCD时,广义积分大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)存在确定数值,正项级数anconverges(收敛)

3️⃣方法三:Harmonic Series and p-Series(调和级数和P级数)

p级数指的是像此类格式的级数:大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

当P>1,此级数converge(收敛)

当P≤1,此级数diverge(发散)

当P= 1,此级数为Harmonic Series(调和级数)由上可知,Harmonic Series调和级数)发散

✨记忆Shortcut

把P值想象在一根数轴上,以1为临界点,如下图所示,记忆顺序为DHC(Divergent,Harmonic, Convergent)

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4️⃣方法四:Comparison Test(比较判别法)

设两个正项级数,大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)(均大于0)

1. If 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n converges, an大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n, then 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n converges.

2. If 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n diverges, an大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n, then 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n diverges.

对于P Series特别有用,经常会用到:

✨记忆Shortcut

我们把Convergent(收敛)比作人性格中的“低调”,Divergent(发散)比作“高调”。

由1中可以看到,人物U低调,人物A比U还要低调,那么人物A必然低调。

由2中可以看到,人物U高调,人物A比U还要高调,那么人物A必然高调。

5️⃣方法五:Alternating Series Test (交错级数判别法)

什么是交错级数,顾名思义就是前项后项改变符号,不断交替。

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若一个Alternating Series(交错级数,简称AS)收敛,需满足如下两个条件

1. an+1<an, for all n

2. 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n = 0

这两个条件的准则也被称为Leibniz’s Test(莱布尼茨判别法)

6️⃣方法六:Ratio Test(比值判别法)

设正项级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),使得大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)= L, 若L< 1, 则级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)converges(收敛),若L > 1, 则级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)diverges(发散)

7️⃣方法七:Geometric Series (几何级数)

设存在几何级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

设存在几何级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

?注:方法六七Convergeor Diverge数值相似,注意与方法三区分。

8️⃣方法八:The limit Comparison Test (极限比较判别法)

此方法与The Comparison Test类似,也称比较判别法的极限形式。

设两个正项级数,大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)(均大于0)

1. If 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) = L, 0 < L < 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记), then both 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) converge or diverge.

2. If 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) = 0, and 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n converges, then大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

3. If 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) = 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记), and 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)then 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) diverges.

当使用普通的Comparison Test时,发现找对比级数时有点困难,可以尝试使用The limit Comparison Test。

是不是觉得方法太多还是不太容易记住,那就看这个思维导图吧。

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?BonusPart: Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

Convergence(收敛)分为绝对条件,好像有一点点麻烦呢,其实概念定理非常容易理解,对于任意项级数,如果其绝对值级数converge(收敛),那么此级数必然converge(收敛),称为Absolute Convergence(绝对收敛)

但如果其绝对值级数diverge(发散),但是原级数收敛,则原级数称为Conditional Convergence (条件收敛)

综上所述,上述文字我们也可以用数学语言来表达:

For 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),if 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)converges, so 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)is Absolute Convergence.

For大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),if 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)diverges, but 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)so大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)is Conditional Convergence.

例题解析

Problem1

Use the nth Term Test

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?Solution: 根据nth Term Test定义,当此级数的n值趋于正无穷且极限值不为零时,级数发散。所以我们需要求此级数当n趋于正无穷时的极限值。

From the definition, 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)=大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),so this series is divergent by the nth Term Test.

Problem2

Use the Comparison Test

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?SolutionA: 这种类型的题目可能乍一看看不出来,那就需要逐步破解,一般分母处次数较高时,我们优先考虑使用Comparison Test。

如题,分母处最高次数为4,所以我们对比级数可以设为大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),至此,观察上方分子处,还有一次的n,所以整个分数的次数可假设为3,可以假设级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)与题目级数进行比对。

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?注:Harmonic Series and P-series可以用数轴记忆法,p>1时,级数converge。

由上方的记忆shortcut知道,比“低调”的级数更低调的级数,必然也“低调”,所以本题大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

?SolutionB: 使用普通的Comparison Test可能不易比较,此时我们可以尝试使用The limit comparison Test (此方法通常适用于当Comparison Test难以找到比对series时)

大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)观察级数分子分母,分子最高次为1,分母最高次为4,整项次数便可为3,所以原series可以同大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)进行比较。

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根据limit comparison test定理,limit值大于0时,两个级数拥有同样的敛散性,并且已知p-series大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记) converge(收敛)(p>1)

Since the limit value is 2, so both series diverge or converge.

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Problem3

Use the Ratio Test

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一般对于有factorial(阶乘)的题目,通常使用Ratio Test

所以大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记).

Therefore,大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

Problem4

Use the Integral Test

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确保series可以使用integral test,要确定这个series是PCD(Positive, Continuous, Decreasing)

?Solution:

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By using the L’Hospital’s Rule, the integral has an exact value, so the series is convergent.

(在求反导的过程中使用integration by parts)

Problem5

Use the Alternating Series Test

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?Solution:当AP考试中出现(-1)n类似形式的Series时,我们优先考虑使用AST(Alternating Series Test), 其次使用Ratio Test。

若使用AST证明Series Converges(级数收敛),需满足以下两个条件:

1. an+1<an, for all n

2. 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n = 0

Since大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)=0,原来的级数converge得证。

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Problem6

大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

If it is convergent, determine it is absolute convergent or conditional divergent.

?Solution:这个级数融合了Alternating Series(交错级数)和sin函数,看起来较复杂,为了判断此级数为Absolute Convergence or Conditional Convergence,首先确定其绝对值的敛散性,故级数

大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)的绝对值为2nsin大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),观察绝对值之后的series存在sin函数,由此我们联想到sin函数图像最大值为1,所以可以得到2nsin大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)=大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

由Geometric Series(几何级数)定理可知,当r<1时,级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

converge(收敛)

至此,由comparison test可知,当一个series比此series更“低调”时,那个series必然“低调”,所以大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

因为此级数是大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

的绝对值,根据定理可知,当级数的绝对值converge(收敛)时,原级数是Absolute Convergence.

Bonus Question

大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)

If it is convergent,determine it is absolute convergence or conditional convergence.

?Solution:是不是有那么一点点傻眼(学神忽略),不要紧的,跟着解题步骤一步一步往后推,对于判断Absolute Convergence(绝对收敛),还是Conditional Convergence (条件收敛)的题目,首先取题目中series的绝对值。

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那么级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)converge还是diverge呢,我们可以使用comparison test,注意到大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)Harmonic  series,which is divergent.

由记忆shortcut可知,比“高调”的更高调的,必然“高调”。所以级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)(发散)

至此,我们需要判定Alternating Series 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)是convergent还是divergent,便想到使用AST(Alternating Series Test),记得条件:

1. an+1<an, for all n

2. 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)n = 0

看到这里问题又来了,级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)是分数,如何比较“an+1an”的大小呢,此处需要动一动聪明的小脑袋,an+1an不可,何尝不试试证明大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),所以[(n+1)- (大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)]- (n - 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记))= 1 - 大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)> 0 (ln函数最大值小于1),所以证得大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),所以an+1an,且大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),所以根据AST,级数大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记),又因为此级数的绝对值Diverge(发散),所以大考倒计时!AP微积分有哪些考试套路?(内附复习笔记)Conditional Convergenct(条件收敛)

最后的总结

本期的AP Calculus BC干货笔记总结了最后一章节中最难缠的敛散性判别法,我们对考点中的每种方法进行了总结陈述并配上shortcut,在例题部分深入分析,同学们只要牢记习思维导图和部分方法的记忆Shortcut,在AP微积分BC考试中,碰到Series敛散判别的题目一定可以手到擒来。

在复习Unit10 Test Methods for Convergence and Divergence时,注意分清每种方法不要混淆,AP5分不是梦~

【竞赛报名/项目咨询请加微信:mollywei007】

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