秋季即将进入 G 11 或者 Year 12 也就是 IBDP 阶段学习的同学，这时候应该都在琢磨怎么选课和选方向了，今天给大家梳理下，数学这个科目怎么选？首先无论是 AA 还是 AI 都包括了 Number & Algebra (代数)， Functions (函数)，Geometry & Trigonometry (几何和三角)， Statistics & Probability (统计和概率) 和 Calculus (微积分) 这五个主要板块。
在教学的课时上，AA SL 和 AI SL 的总课时中有 60 个课时的内容是 AA 和 AI 共有的，还有 60 个课时是针对 AA 和 AI 的不同要求， 对相似知识点的不同编排。此外课程中还有 30 个课时的设置留给学习使用画图计算器等一系列对应知识的拓展，例如求解复杂函数方程的功能，微积分的功能，计算矩阵的功能。相比于 SL课程， HL 包含了 SL 全部内容，在 SL 基础上又增加了 90 个课时的延伸教学。
具体每个知识模块需要多少教学课时，详情参考下图。
对应在考试上，AA 和 AI 的 SL 考试中分别包含两份 90 分钟时长试卷 （Paper 1 & Paper 2）每份试卷各占总成绩的 40%。Paper 1 和 Paper 2 的主要区别有两点：
1、 同一板块问题的难度在 Paper2 中有所增加；
2、 Paper 2 中每一道问题有更多小问，考察涉及同一知识点的更多延伸细节。
除了 上面的 Paper 1 和 2 成绩占比80%之外，剩余的 20% 成绩来自于Internal Assessment 也就是大家常说的 IA (内部评估)，也就是一份针对某个数学问题的研究小论文。
AA SL 与 AI SL 除了考试内容的区别之外，AI SL 的所有考试均可以使用画图计算器， 而AA SL 只有 Paper1 可以使用画图计算器。
接下来我们看AA 和 AI 的 HL 考试，分别包含：
两份 120 分钟时长的试卷 （Paper 1 & Paper 2） 各占总成绩的30%，一份 60 分钟长的试卷（Paper 3）占总成绩 20%，与前两部分不同，Paper 3 中只有两道大题，每道题围绕一个主题，每个小题或证明或推导且环环相扣，着重强调解决问题的逻辑和方法。同样，我们依旧要完成成绩占比 20% 的 IA。
下面我们结合知识点对比和一些官方考试样题，分别比较下 AA 、 AI 中 SL 和 HL的内容在考试中的差异。因为 HL 包括了所有 SL 的内容，这里我们只需要搞清楚 HL 增加的部分就可以了。
（下面内容涉及具体的知识点，适合正在IB体系里学习的学生或对数学感兴趣的朋友阅读）
首先我们来看 AA 方向，HL增加了哪些内容：
1 Number & Algebra (代数) 部分增加了: Binomial Theorem (二项式定理) 和 Partial Fraction （部分分式分解）。
2 Functions (函数) 部分增加了: Ratioanl Fuction (分式函数) 的额外内容 以及不同函数的作图和已知函数的平方的作图。
3 Geometry & Trigonometry (几何和三角) 部分增加了: De Moivre‘s Theorem （棣莫弗定理）。
4 Statistics & Probability (统计和概率) 部分增加了: Correlation and Regression (相关和回归分析)， 数据的不同表示方法以及采样的概念。
5 Calculus (微积分) 部分增加了: L‘Hoptital's Rule (洛必达法则) ，Differential Equations （微分方程）和 Maclaurin Series (麦克劳林级数)
其次对于 SL 和 HL 中相同的部分，相类似的问题会同时出现 SL 和 HL 的考试中。例如 Statistics & Probability (统计和概率) 所涉及的 standard deviation (标准差)，expectation (期望值) 和概率计算是 SL 和 HL均要求掌握的部分。所以下图中的问题同时出现在了 AA SL 和 HL 的官方样题中。
再比如 Calculus (微积分)中， SL 和 HL 均要求掌握基本函数的求导与积分以及定积分的应用。这一部分的考察在 SL 和 HL 中也均有涉及，如下图中的问题。
其次，针对只在 HL 涉及的进阶知识，在考察使也会有对应的问题。
例如下面这道题就是针对复数和三角中涉及到的 De Moivre‘s Theorem （棣莫弗定理）。
再比如关于 Maclaurin Series (麦克劳林级数) 的考察。
最后， HL 无论是在平时的教学中还是考试的要求中，也更强调解决问题的逻辑和方法。Paper 3 的问题设置很好地诠释了这一点。这是一道 Paper 3 完整的官方样题，一共有 12 个小问。这道问题涉及了函数，数列，导数，三角等式等多个部分，是一道不折不扣的大综合题。
通过对差异知识点的总结和例题的展示。我们不难看出AA HL 相比 SL 有着更高的知识要求和解决问题的应用要求。对于打算学习 HL 的同学，无论是思想上还是数学知识的基础上都需要有非常充分的准备。
我们从各大学本科申请数学部分的要求来看， AA HL无疑是一个申请时的 “万金油” 选项。
当然，对于申请目标非常明确的同学，譬如申请人文社科类，或纯艺术方向，如果 SL 满足要求，同时自己在数学上所能投入的时间较为有限，AA SL也是一个合理的选择，依据自己真实情况做选择。
接下来我们来看 AI 方向 HL 和 SL 相比，有哪些增加的知识点。
相比于 AA， 目前大部分提供 IBDP 的中学还未开设或正在计划 AI 的课程。无论是 AI 的教学经验还是针对 AI 考试的复习资料都相对短缺。根据下图，我们可以看出 AI HL 增加很多在SL 中没有涉及的新章节，例如 Complex Number (复数)，Vectors (向量) ， Graphy Theory (图论)， Nonlinear Regression （非线性回归）等。但是可以确定的是，大部分知识的要求和考察形式都会较为简单。
从问题形式上，AI 中的问题更侧重于应用而不是单纯的理论推导或计算。
比如下面这道 AI HL 中关于复数的问题，主要考查了复数在坐标系中的表示方法以及复数值幂次方之间的关联。
再比如这道AI HL 中关于复数的问题，基于向量和直线的向量方程求解运动学的变量。
此外，根据下图所示官方给出的 AI HL Paper 3样题，我们可以发现 AI HL Paper 3 的问题更加集中于一个主题。例题主要考察了微分方程的概念，解法，微分方程对应的 slope field (斜率场) 以及 Euler's method (欧拉方法)。基本上涉及了微分方程的所有部分。
整体来说，AI 考察问题的形式相较于传统数学学习中遇到的问题有较大不同。同时 AI HL 中包含了很多不同数学分支的概念，对于选择学习 AI HL的同学，无论从理解还是解题上都有不小的挑战。另一方面， AI SL在申请中专业的局限性，也是同学在选择时需要考虑的主要因素。
写到这里，很多同学应该都了解了 AA 和 AI 的四门课程到底考什么和怎么考，简单来说，量力而行，量入为出，根据自己 IBDP 之前的数学能力掌握情况以及将来想就读的大学和专业对数学课程的要求，以及自己高中最后两年的时间分配，综合考量自己到底适合选什么。
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