众所周知，数学不仅是理工类学科的基础，在经济、金融、社会科学等领域也有广泛的应用。因此数学专业也是近年来英国留学的热门专业选择之一。入学面试作为冲刺牛津剑桥申请过程中的压轴环节，不仅能够与教授面对面交流，更是近距离展示自己的学术实力以及学术热情的绝佳机会，其重要性自然不言而喻。
为帮助大家更好地备战牛津剑桥申请，本期分享我们特带来牛津剑桥数学专业的面试样题解析，梳理这些题目背后的解答思路与考察重点
01、牛津大学
数学专业面试
从牛津大学数学系官网给出的面试准备建议，我们可以了解到，负责面试的教授们更希望申请者能够努力表达自己的想法和解题思路，并对数学有着浓厚的学术兴趣，会日常进行大量题目的练习，也会阅读涉及大量课外知识的书籍。
大家可以与自己的老师进行模拟面试或者向非数学专业方向的家人好友解释A Level数学中的题目与概念。这样的练习不仅可以锻炼口头表达能力，帮助你更清晰地阐述自己的想法，而且还能加深对学科知识的理解和记忆。
图片来源 牛津大学官网
以下是我们整理的牛津大学官网面试Sample Questions:
Q1、用2x1的瓷砖铺满2xn的矩形网格，总共有多少种方法？
图片来源 牛津大学官网
通常情况下，面试官并不希望申请者直接得出答案。他们更倾向于申请者能够从"n=1,n=2,n=3,n=4......"的具体情况开始尝试，并逐步深入探索。
数学专业的面试通常需要在纸上或电子白板上进行画图或计算，因此当申请者画出草图时，会发现前四种情况的答案分别是“1、2、3、5”。
图片来源 牛津大学官网
n=1的情况
n=2的情况
n=3的情况
n=4的情况
接下来面试官通常会告诉申请者，当“n=8”或“n=13”时的答案，并询问申请者是否发现了其中蕴含的规律。答案其实是斐波那契数列，即数列中的每一项都等于前两项之和。申请者之前是否了解过这个知识点或者是否记得这个数列的名称并不重要,下一阶段面试的重点是考察申请者能否理解这一现象为什么会出现在这里，以及在思考的过程中能否产生一些自己的想法。
接下来面试官可能会对问题进行适当延伸，比如提问“用3x1的瓷砖铺满3xn的矩形网格”或“用2x1的瓷砖铺满3xn的矩形网格”有多少种方法等。在这一阶段将着重考察申请者是否在之前的探索中有所收获，能否通过思考产生一些新的想法，并灵活运用它们来解决问题。
图片来源 牛津大学官网
Q2、想象梯子靠在垂直于底面的墙上，梯子的两脚着地，梯子的横档侧面被涂上了不同的颜色(从侧面看就可以看到)，当梯子掉到地板上时，中间横档的运动轨迹是什么形状?
图片来源 牛津大学官网
这个问题旨在考察申请者的信息筛选及处理能力，以及能否用数学思维分析正在发生的事情。
图片来源 牛津大学官网
面试官首先会问申请者认为是什么形状，接下来需要申请者一步步验证自己的结论。有的申请者者可能会尝试画出梯子在不同阶段的草图，但是面试官想看到严谨的思考过程，比如运用数学方法(如方程式等)来模拟情况。
如果申请者在思考过程中遇到困难，面试官会尝试或给予提示，比如：提示思考梯子与墙壁地面的关系等。最终申请者会发现梯子在每个阶段都与墙壁底面形成了一个直角三角形，可能会立刻使用勾股定理来寻找答案(即梯子形成了一个四分之一圆，中心在地板和墙壁的交汇处)。
图片来源 牛津大学官网
通过以上问题，我们不难看出牛津大学数学专业面试所涉及的相关知识点可能并不深奥，比如铺瓷砖这个问题仅仅涉及到GSCE阶段的知识点，但知识点背后的复杂性以及对问题的适当拓展却能帮助大学招生官更好地考察申请者的学术能力、思维模式以及与大学/学科专业的匹配程度。
图片来源 牛津大学官网
02、剑桥大学
数学专业面试
Q1、从1到6000中，有多少个数不是2,3,5的倍数？
图片来源 剑桥Trinity College官网
通常情况下，剑桥大学的面试官同样并不希望申请者直接得出答案。他们更倾向于申请者能够从具体情况着手开始尝试。比如在面对包含1到6000的所有整数的集合时，可以先分别思考有多少个数是2的倍数，3的倍数与5的倍数。显然在1-6000中：
◆2的倍数有6000/2=3000个
◆3的倍数有6000/3＝2000个
◆5的倍数有6000/5＝1200个
这些数字共计6200个(3000+2000+1000)，但在这之中有被重复计算过的数字，例如数字6被计算过两次，因为它同时是2和3的倍数。因此像这样能被2和3整除的数字总共有6000/6=1000个；同理，同时能够被2和5整除的数字共有6000/10=600个；同时能够被3和5整除的数字共有6000/15=400个。
但在做减法的过程中，申请者需要注意那些同时能够被2,3,5整除的数字已经被重复删除过了，因此需要再次添加它们，而这些数字总共有6000/(2x3x5)=200个。所以在1-6000的整数中2、3或5的倍数总共有4400个(3000+2000+1200-1000-600-400+200)。
最后申请者也不难得出1-6000中不是2,3或5的倍数的整数共有6000-4400=1600个。
从这道面试问题中不难看出，背后涉及到的知识点同样并不复杂，着重考察的是申请者的学科思维与逻辑推理能力。
Q2、请画出函数y=sin(x)/x在[-2π，2π]区间的图像。
图片来源 剑桥大学官网
再以高频出现的画图题为例，数学系给出的面试示例中，面试官首先写出了函数y=sin(x)/x，并希望申请者能够画出这个函数在区间[-2π，2π]的图像。
图片来源 剑桥大学官网
剑桥大学的面试官同样期望申请者能够从某些具体的"点"开始尝试，并逐步深入探索。比如可以先从x=π，x=0.5π，x=1.5π，x=2π等情况进行尝试。
图片来源 剑桥大学官网
这道面试题并不是单纯想考察申请者是否了解该函数，而是考察逻辑思维，以及如何通过关键特征并利用所学知识推断出函数图像。比如通过之前的尝试，可以确定几个关键点，再结合sin(x)的存在，可以推断出该函数为周期性函数，且周期为2π。
除此之外，根据函数表达式可以发现sin(x)的幅度(amplitude)也是不断下降的，然后通过极限法推导出x=0时函数值为1，再利用对称性判断出函数是以y轴对称的。最后要注意的是在y轴交点上别忘记画空心圆。
图片来源 剑桥大学官网
正如视频中的招生官所说：通过面试，大学可以很好地了解申请者是否具备在大学学习数学所需的知识储备，是否能够适应剑桥大学的教学模式，以及申请者的学术能力与学术热情，例如：在不同的数学观点之间建立联系的能力，逻辑思维的能力，快速理解新知识/概念并运用它们解决具有挑战性的问题，思维的灵活性，从不同角度分析问题并积极探索的数学好奇心，学科知识的灵活运用应用能力等等。
图片来源 剑桥大学官网
无论是牛津还是剑桥大学的面试，比起正确答案，面试官关注的重点是大家的思考过程与沟通表达能力。因为单纯做对一道题目，仅仅意味着大家可能对某一特定领域比较熟悉或之前见到过类似的问题。所以大家在面试中，需要做的是努力尝试思考，与面试官保持交流并清晰地表达出自己的思路。
总结来说，大家一定要提前熟悉面试流程，多进行面试前的练习与准备，祝愿大家都能够在面试中充分展示自己的学术硬实力！
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