国际学校数学课程体系及常见问题解答

美国数学家哈尔莫斯曾说：数学是一种别具匠心的艺术。对于正在学习国际课程数学的孩子来说，这一“艺术”的修习之路漫长有趣，但同时也充满挑战。

另外，小编此次整理了一些以往机构就家长关心的国际学校的数学相关问题的解答，共计十六问十六答，以飨读者。

第一问、您在教学过程中，感觉国际学校的同学们在数学学习中普遍存在什么问题？

首先是计算能力的问题。在国际课程的很多考试是分为两部分，有一些是可以使用计算器，而有一些是不可以使用计算器。在可以使用计算器的时候，我们发现国际学校学生还是非常有优势的，但是在不可以使用计算器的时候，很多学生会出现一些很低级的错误，比如相加相减都会出现错误。

SAT的数学考试就是分为calculator还有non-calculator两部分，很多同学说如果是可以使用计算器，感觉压力不是很大，如果不可以使用计算器的话，一不小心就会做错。因为计算能力导致的错误非常不应该的，因为数学最基本的能力就是运算。

另一个问题是定理和公式方面，很多同学只是表面上理解。国际学校的老师上课过程比较重视形象化，上课的时候可能会带大家做一些比较有趣的实验，比如小学的时候，就会拿一个披萨，拿它分成五份，平均分成五份，每份就代表的是五分之一，那么三份代表五分之三。

老师会通过这种形象带大家去理解，但是如果是遇到一些比较难的定理或者公式，老师可能如果推导上没有讲的特别形象或者深入，同学们只是把这个公式背下来，在应用过程当中就会卡壳。

第二问、错题怎么解决？

我要求学生要有自己的错题本，把自己做过的错题总结起来。把试卷钉起来也行，因为错题能够体现学生最原本的一些错误，从这些错误里面可以回归到最原始的知识点，进行提升。学生自己考试考虑自己为什么做错了，有这种想法的时候，就很容易进行提升了。

第三问、有没有通用的学习方法？

每个孩子都有自己的学习方法，只要是适合的就是好的。比较基本的一个思路是上课前预习，听课过程做相应的笔记，然后课后总结复习。在复习过程当中需要做一些练习进行巩固。有一些孩子课后自己没有进行系统的整理，学习方法还不是很系统。

学习方法不够系统可能会导致最后整体的知识体系也不够系统。数学的知识体系可以分成不同的模块，每一个模块再细分为小模块。我经常跟同学说，你们要有自己的学习方法，如果你觉得自己学习方法还不够很好，就需要自己想一下，我们怎么样学习才让自己掌握的更好一点。

每次学习之后，不管是在学校在家里，都要思考一下这个模块学了什么，对应的知识点是什么，有没有相应的一些题型或者说有一些有难度的东西去做一做。当孩子们开始思考这些问题的时候，他们就会逐渐养成自己的学习习惯。

在学习过程当中，我经常要求同学们要自己做相应的总结，每个章节需要有相应的mindmap（思维导图）。同学们做总结、做知识框架的过程当中，就是重新梳理了知识点进行总结；而总结完一个框架后，在接下来的学习过程当中，就能够对应这个框架看看有哪些题目是比较难的，再进行加深。

第四问、国际学校的各个数学学习体系的特点？

国际课程主要有三大体系，各有特点，从知识点上来讲，这些体系之间的内容基本上是一样的。如果把基本的内容进行分类，可以理解为：小学部分学习一些非常简单的数学基础，初中和高中的部分开始对数学进行加深延伸到比较难的内容。首先是学习一些不包含微积分的，在学完这些之后会有相应的一些微积分的学习。不管是哪个体系，都有微积分。

美国体系首先是学习Pre-algebra，然后学习代数一二，还有几何，然后是pre-calculus，也就是预备微积分。这些内容都没有包含微积分。学完这些内容就开始进入AP的一些课程的学习，比如说AP微积分、AP统计。

英国体系先是KS阶段，然后是IGCSE阶段，接着进入A-Level。特别要注意，A-Level阶段会有一些物理的力学的内容。如果同学们就没有选到mechanics的话，是不需要学习力学的。不过在中国或者在国外，好多同学只要是有物理这方面的专业的要求，可能都需要学习力学。

在A-Level阶段，有些同学会选择进阶数学，这是一些大学要选理工科的要求。进阶数学其实就是平时同学们口中所说的高数。因为如果我们申请剑桥，我们需要考STEP；牛津的话，需要考MAT。如果有进阶数学的基础再去考这两个，把握就会大一点。

IB体系主要是分为PYP、MYP、IBDP三个阶段。在IBDP阶段同学们可以考虑选择的是HL还SASL。HL是high level，比较难，如果选择high level的同学，更需要做一些长期的计划，把自己的数学基础打好。

第五问、SAT数学跟这些课程有什么对应关系？

申请美国大学一般都需要考SAT。

SAT的数学可以理解为是美国体系中的algebra one&two和geometry，就是代数和几何这两部分合起来，基本上能够满足SAT数学的要求。如果是英国体系的话，只是IGCSE阶段的数学。IB体系的话，MYP阶段数学基本上就能够满足SAT数学的内容。

考SAT的数学，最好进行比较专项的练习，因为不同体系还是有一定的区别。

第六问、怎么做学习规划？

每个同学都应该做相应的长期规划和短期规划。

短期规划，就是很多同学近期遇到一些学校课堂上的问题，我们一定要尽快的解决，比如说这个单元是公式还是一些原理性的东西，在短时间内快速把它学好。如果说有一个考试，那么针对这个考试需要做哪些准备？

长期计划来讲，从小学到初中高中整个学习过程中，在不同的阶段可能会遇到不同的困难，那怎么样提前规划会让他避开一些挫折，学习数学的比别人更有竞争力。

我们需要了解，在一个体系中数学的整体分布是什么样子的。不同的体系有相应的考纲，就是syllabus，每个同学都可以了解自己可能经历一个什么样的学习阶段，在每个阶段对应的目标是什么。比如IB体系的同学一开始只是小学时候学一些pre-algebra的内容，然后到了初中就学algebra one&two或者geometry相关的一些简单的知识点。

但是在学完这两个之后，很多同学需要考SSAT或者是SAT，那就需要提前把这些计划做好，在考试之前基本上能够把所有的内容还有考纲上的一些重点都掌握好。进入高中之后，一般在十年级或者最晚在十一年级就是pre-calculus，也就是预备微积分，难度可能一下子会增大很多。同学们能不能自己通过预习了解这个阶段，如果不能的话，可能就需要和老师聊一下需要掌握哪些知识点。

很多同学在十年级甚至是九年级就已经开始学AP微积分，在不同的阶段的规划其实就是分模块和专题就把它给完成了。也就是说学生进行规划的时候，如果这个学生基础是比较好一点的，就可以提前把一些内容学完，比别的同学走在更前。英国体系还有IB体系也是这个样子，同学们根据自己的情况，做一个长期的计划，就按照这个计划走。现在所有的考纲都非常明确。

第七问、长期规划一般都会走在别人前面，会不会不好？

很多学生家长担心如果提前把东西学完，上课时候可能就注意力不集中，但是我遇到很多孩子并没有发生这种情况。国际学校里面上课内容真的是太简单了，即使没有提前预习的同学可能也能很快知道老师在讲什么。

IB的一些考试，有时候老师在学校里面讲的特别简单，但是考试的时候都是拿IB的question bank，也就是题库，考得很难。老师讲的基础内容是可以很快听明白，接下来的话就是一个提升的阶段，长期计划一定是有一个提升的环节。

第八问、如何由基础进阶？

美国的数学教育过程中，比较赞成每个学生根据自己的情况安排学习，孩子可能就是按着考纲一步一步的向前走，但是有些孩子如果能提前的学完很多东西，也会被鼓励加深学习，就是在现在的基础上进行相应模块的提升。这个提升的难度还没有达到竞赛的级别，但是又比一般的基础题难一些。

很多同学接触从基础到提高的题目，就会发现，只要自己多思考一下这个题目，自己也可以解决出来，这就会让他对数学产生很浓厚的兴趣。考试有一些附加题，其实也在自己的解决范围之内。所以需要在基础的学习上再进行专题的加深，复习不同模块，能够做一些虽然达不到竞赛难度、但是也需要一定的思考的这种题目。

第九问、如果孩子基础和提高都不错，接下来是竞赛吗？

近些年来标化考试成绩越来越高分。这个时候，世界的顶级名校怎么样选学生呢？当大家的标化成绩满足了他基本的要求之后，就需要另外一块敲门砖，像MIT或者是美国的一些名校的招生官现场就说数学很重要，通过参加像美国数学竞赛还有一些重要的数学夏令营，同学们可以在数学领域的难度上走得更远，同时也可以了解更多数学应用方面的东西。

一些学校申请里面，特别是美国，专门就有一栏是问大家有没有参加过AMC，AMC的分数是多少，进阶的分数是多少。现在比较热门的除了AMC美国数学竞赛，还有其他的数学活动比如美国数学大联盟、加拿大的滑铁卢数学竞赛，还有英国的数学竞赛（UKMT），还有一些比较难申请的夏令营像罗斯的或者斯坦福的，同学们只要感兴趣都可以努力尝试一下。

第十问、AMC怎么规划呢？

我们可以分不同的年级，三到五年级是AMC的预备阶段，主要是针对小学一些内容进行提升，如果开始接触一些竞赛的内容或者说几乎接近竞赛难度的这种题目的话，对学校的学习或者说作为额外的一些补充都非常有利。

接下来就是AMC8的考试，针对的是八年级以下，很多五年级的学生都会参加，需要有意识提前学习一些内容，强化竞赛的基础知识，再进行AMC8的真题分类训练。

AMC10、12的学习是在AMC8之后，针对十年级以下的学生。这个体系的学习和比赛对标化考试非常有利，像SAT的数学、SAT2的数学考试，基本上学完AMC10、12的基础以后，这些考试就会变得非常简单。

这些基础完成了其实就已经达到美国的课程体系之中的预备微积分，就是pre-calculus，就可以进行一定的提高以及冲刺，针对AMC10/12的专题，进行专项的训练，每个学生有望逐渐达到AIME基础的水平。

AMC10、12所考的内容几乎差不多，但12多了两部分，涉及到一些log对数，还有复数complex number。每年的考试中10和12会有十至十五道题是一模一样的，并且不管是10还是12的同学，如果晋级下一步的AIME考试之后，都是参加同样的试卷。

也就是说，10的同学晋级之后和12的同学晋级之后所做的试卷是相同的，竞争对手都是一样，所以他们的学习应该在一开始的时候都放在相同的一个高度。AMC10晋级AIME的话需要选拔前2.5%的学生，12晋级AIME需要选拔前5%的学生，这个是我做的相关的分数线的统计。

考完AMC10或者12之后，同学们可以计算自己的相关分数，如果能够达到晋级AIME的水平，接下来就要进行AIME的冲刺，因为从知道成绩到AIME的考试就剩下不到两周了。所以希望大家提前能够预算自己的一个分数线。

AIME的冲刺过程中，主要是针对真题进行分类讲解，进行知识点强化提升。

AIME的考试都是需要写出相应的过程，所以难度上会大很多。在考试的方式上和国内体系的数学考试有很大的区别。比如说鼎石的MYP阶段的学生在数学的考试过程中除了一般考试，平时的话还需要做一些统计或者一些论文的写作，这个是很多由国内体系转到国际体系的同学不大适应的部分。

国际上对IB体系的评价非常高，因为IB体系除了一般的考试，还有相关的一些论文的研究，这个对培养每个同学的写作能力和研究能力都很关键。

第十一问、有没有通用的学习方法？

IB的同学在申请的时候要提交相关的预估分。这个预估分是怎么来的呢？平时的考试中，IB的同学要特别注意老师有没有说这个考试会进入最终的总分。学校的一些大考的成绩也是占有一定的百分比。所以除了平时需要保持一个比较优秀的成绩，期中期末考试的时候也需要保持一个优秀成绩，这样就很有希望在预估分的时候拿到满分的七分。

这些高的预估分对申请大学有什么用呢？申请美国的时候，有些学校给的offer是unconditional，就是无条件录取，比较高的预估分申请好的学校就更加容易一点。如果申请的是英国的学校，对IB的同学是有要求的，就是预估分一定要达到多少分才可以申请，给的offer都是conditional，也就是有条件的,对大考分数是有要求的。

数学是所有科目里面最容易拿到满分的，做了相应的长期的计划，然后一步步往前推进，其实拿到七分并不是一件很难的事情。对IB来讲，每个阶段都很重要。

第十二问、什么情况下需要考剑桥STEP？

STEP考试并不是剑桥大学才有的专业要求。帝国理工大学、伦敦国王学院，还有很多比较好的大学都会参考STEP成绩。STEP考试能够拿到高分的话，面试官能够从中看到这个学生的数学能力，即使这个学生在A-Level阶段成绩并不是特别的优秀，STEP可以作为加分项。有一些国际学校特别是IB体系的学生，在申请英国学校的时候会被要求参加STEP的考试，对他这个面试是有一定的参考作用的。

第十三问、每个孩子的基础都不一样，怎么做相应的长期规划？

我们一开始都会给孩子一个测试题，能够了解到孩子的基础是什么样的，然后给出相应的建议。低年级阶段的孩子一切都有可能。我会针对孩子的目标做出相应的规划，如果打算参加竞赛，那需要达到什么样的基础，在什么样的基础上才能进行提升；如果没有计划参加竞赛，那么我们需要的就是保证在学校分数很高，主要是在学校的学习体系中，帮他把时间先列出来，并且找到相应的一些学习内容。

第十四问、AMC预备是三到五年级一起学，对低年级孩子会不会跨度太大？学不明白的话可能会影响他的长期兴趣。

AMC预备班包含了小学全部的数学内容。我们一般是分为14个小的专题。如果三年级就开始有点吃力，那就要求先学习普通课程的四五年级的内容，然后再进行这一块的加深。我们发现四五年级的学生如果在同一个班，这些知识点模块基本都是可以接受的，但是对三年级的学生，跨度还是有点大。

所以，如果三年级想进行提升,我们可以先针对三年级已经学过的内容做相应的加深，让他们接触到加深的难题，但是还没达到竞赛难度，在这种程度上，我们可以继续四五年级进行拓展。

第十五问、A-Level的数学应该怎样学习？

在三大体系之中，我们认为A-Level特别像中国的高考，因为A-Level的体系分得特别细，非常的系统，A-Level的阶段已经有微积分的内容，难度还是比较大的。经历了IGCSE的阶段进入A-Level的学习，难度会减弱很多。

A-Level阶段是模块化学习，每个模块就是一本书，比如说像CI，我们以CIE考试局为例，首先每个同学都会学pure mathematics one/two/three，然后参加AS的考试；大家还会同时学习力学mechanics或者是统计statistics。

第十六问、据说IB的MYP阶段知识点编排有点混乱？

确实有不少同学这么反应。其实也并不是混乱，因为IB的MYP阶段就是强调螺旋式的学习。比如学三角函数，MYP阶段会先学很简单的三角函数的一些概念，然后再过一个学期就会学习三角函数的其他的定理，比如余弦定理，然后再过一个学期，再学其他和三角函数相关的一些公式，比如两倍角公式。

MYP的这种学习就是螺旋式，所以很多同学会觉得为什么这个东西好像去年学过了，今年还继续学，然后明年好像还学。解决办法就是把它变成一个模块总结起来。