今年的高考数学考试结束以后，很快引发了一波关注。对于这份“新高考数学I卷”，各方面的声音几乎是众口一词地定性为“非常难”。
我原本不想趟这个“浑水”，一方面是我对高考不感兴趣，另一方面，我不是中学老师，对当前中学的数学教学状况没有深入的了解，因此不适合随便插嘴——毕竟，一道题难不难，学生应该具备怎样的能力，都不是以我的判断为准。
出于好奇，我还是瞄了一眼这份试卷，对最后一道题产生了一点兴趣。放在最后的题目，通常被称为“压轴题”，难度往往是比较大的。但我之所以关注它，是因为这道题与大学的数学学习内容关联性很大。
我读高中的时期有一个特殊性。在这个时期以前，高中数学是有微积分的基础内容的，而我在高中完全没有接触过微积分的内容。在我毕业以后不久，微积分的内容又逐步回归了高中数学课本。
不过，这个“空白期”具体有多少年，我难以查证。
在大学里，大多数专业都要求学生修读“高等数学”这门课——通常简称为“高数”。根据我的观察，“高数”的学习情况非常不理想，所以看到作为“高数”的主要学习内容的微积分题目出现在高考试卷中且作为压轴题，我的好奇心就被勾了起来。
这道“压轴题”难吗？不难吗？还是难吗？
快速地把题目扫完一遍，我的第一判断是：不难。理由如下：
第一小题是求a的值。题目条件是两个函数的最小值相等，而根据费马定理，函数的极值可以用a表示出来。所以求a的值应该就是解一个方程。
第二小题中的y=b是一条水平直线。由于不难判断两个函数都有唯一的最小值且没有最大值（不妨想象成开口向上的抛物线），所以当水平直线与两条曲线（即两个函数的图像）总共交于三个点时，必然有一个交点是两条曲线的公共点。
上面的分析中涉及的两个知识点：极值点的特性，函数图像的特征，都应该是高中数学的重点学习内容。也就是说，这道题在知识点的考察上并没有什么刁钻之处。
不过，压轴题毕竟是压轴题。虽然在大的思路上没有设置明显的障碍，但细节上不乏“荆棘”。下面我们具体看一下有哪些荆棘。
首先来看第一小题。显然两个函数在整个定义域上都是可导的，所以最小值点一定是驻点，即导数值为0的点。易知
f'(x)=ex-a, g'(x)=a-1/x.
由f'(x)=0得驻点x=lna，由g'(x)=0得驻点x=1/a。
由于题目已经告诉我们两个函数有最小值，而它们的驻点都是唯一的，所以我们立即可以推出上面两个驻点一定就是极小值点。
不过作为验证方式，我们还可以通过二阶导数来判定一下。
f''(x)=ex, g''(x)=1/x2.
以上两个二阶导数的值都恒为正，所以两个函数都必然只有唯一的最小值点。
下面来求两个函数的最小值的表达式。
f(lna)=a(1-lna), g(1/a)=1+lna.
由于最小值相等，所以a(1-lna)=1+lna。
第一个难点来了！上面的等式是关于a的超越方程，而超越方程的求解并没有系统性的方法，只能靠技巧。
把上面的等式重新整理成lna=(a-1)/(a+1)。
之所以整理成这种形式，是为了把方程的“超越”部分放到左边，而右边是相对基础的有理函数。
通过分别画出等号两边的函数的草图和观察，可以发现a=1是方程的一个解。
可以猜测这是方程的唯一解。如果要严格证明唯一性，则需定义函数F(a)=lna-(a-1)/(a+1)，然后证明函数F只有唯一的零点。
这一步也可以算作第二个难点。不过我不太了解高中教学对这种方法的介绍和训练是怎样的情况，所以不好判断对考生来说这个难点有多大。
下面来看第二小题。 根据第一小题中的分析，函数f和g的图像都是有唯一的最低点、两端向上无限延伸的曲线，且最低点都在y=1。所以
当b<1时，水平线y=b与两条曲线都没有交点；
当b=1时，y=b与两条曲线各有一个交点；
当b>1时，y=b与两条曲线各有两个交点。
因此，要使y=b与两条曲线总共有三个交点，必须刚好穿过这两条曲线的（唯一）交点。
要求两条曲线的交点，只需令ex-x=x-lnx。
第三个难点来了！这又是一个超越方程，而且比前一个看起来更麻烦——前一个只出现了对数函数，这一个同时出现对数函数和指数函数。
根据两条曲线的图形特征，它们的交点肯定是唯一的，而且交点的横坐标必在0和1之间（即两条曲线的最低点的横坐标之间）。所以上面的超越方程的解肯定存在唯一。
严格的论证可定义函数G(x)=ex-2x+lnx。根据G'(x)在x>0时恒大于0知G是递增函数，所以G的零点若存在必唯一。又根据G在0附近的值小于0及G(1)=e-2>0知唯一解在0和1之间。
要具体求出超越方程ex-x=x-lnx的解似乎不太可能，但要找到y=b与两条曲线的三个交点之间的关系，还是有技巧性的处理方式的。
我们把这三个交点从小到大分别记为p,q,r。则
f(p)=f(q)=g(q)=g(r)=b.
函数f和g的表达式之间有一个巧妙的联系，即在g的表达式中把x替换成ex，就得到f的表达式。换句话说，f(x)=g(ex)。
请注意，这个等式对任意的x>0都成立。而f(p)=f(q)=b，所以必然有g(ep)=g(eq)=b。也就是说，根据f的图像曲线与y=b的两个交点横坐标，就可以完全确定g的图像曲线与y=b的交点横坐标。而f与y=b的右交点就是g与y=b的左交点，所以q=ep。
同理得r=eq。 注意到q是函数G的零点，即G(q)=eq-2q+lnq=0，即r-2q+p=0。最后这个等式说明p,q,r构成等差数列。
题目解答完了，最后总结一下。
如解答过程所述，整个解答包含三个难点。解决第一个难点需要处理超越方程的一些经验。如果能想到把方程化为lna=(a-1)/(a+1)的形式，接下来推断a=1满足方程，应该不算太难。
解决第二个难点需要熟悉如何用微积分方法分析方程和函数性质。要判定方程的解唯一，一个很基本的方法就是把方程的解看作相应的函数的零点，然后验证这个函数是单调函数。具体来说，就是验证它的导函数的值恒大于0或恒小于0。
第三个难点，需要非常敏锐的观察力和冷静的分析。说实话，如果我在考场里连滚带爬地冲到最后一道题，估计是很难保持住足够的敏锐和冷静的。
总而言之，在现实的考场里，要在最后一道题拿到满分，确实需要超强的数学能力，甚至还得仰仗一点运气的加持。如果退而求其次，只做出第一小题，难度就低了很多——当然，能达到这个能力的学生肯定还是少数。
作为高考数学的压轴题，第一小题是常规的压轴题难度，数学能力强的学生只要时间不太紧张都有机会做出来；第二小题的难度往上抬升一级，只有极少数学生有机会拿到分数。这样的设计应该是比较合理的。如果压轴题有很多学生能拿到满分，反倒是难度偏低了。
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