数学建模的一般步骤

建立实际问题的数学模型，尤其是建立抽象程度较高的模型是一种创造性的劳动。现实世界中的实际问题是多种多样的，所以数学建模的方法也是多种多样的，我们不能按照一种固定的模式来建立各种实际问题的数学模型。

但是，建立数学模型的方法和过程还是存在一些共性的东西，掌握这些规律将有助于数学建模任务的完成。下面就按照一般采用的建模基本过程给出数学建模的一般步骤。

（1）模型准备

要建立实际问题的数学模型，首先要对需要解决问题的实际背景和内在机理进行深刻的了解，通过适当的调查和研究明确所解决的问题是什么？所要达到的主要目的是什么？

在此过程中，需要深入实际进行调查和研究，收集和掌握与研究问题相关的信息、资料，查阅有关的文献资料，与熟悉情况的有关人员进行讨论，弄清实际问题的特征，按解决问题的目的更合理地收集数据，初步确定建立模型的类型等。

（2）模型假设

一般来说，现实世界里的实际问题往往错综复杂，涉及面极广。这样的问题，如果不经过抽象和简化，人们就无法准确地把握它的本质属性、就很难将其转化为数学问题；即便可以转化为数学问题，也会很难求解。

因此要建立一个数学模型，就要对所研究的问题和收集到的相关信息进行分析，将那些反映问题本质属性的形态量及其关系抽象出来，而简化掉那些非本质的因素，使之摆脱实际问题的集体复杂形态，形成对建立模型有用的信息资源和前提条件。

作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力。但是，对实际问题的抽象和简化也不是无条件的（不合理的假设或过于简单的假设会导致模型的失败），必须按照一定的合理性原则进行。假设的合理性原则有以下几点。

①目的性原则：根据研究问题的特征抽象出与建模目的有关的因素，简化掉那些与建立模型无关或关系不大的因素。

②简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。

③真实性原则：假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。

④全面性原则：在对问题作出假设的同时，还要给出实际问题所处的环境条件等。

总之，模型假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对问题进行合理的抽象和必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。应该说这是一个比较困难的过程，也是建模过程中十分关键的一步，往往不能一次完成，而需要经过多次反复才能完成。

（3）模型建立

在模型假设的基础上，首先区分哪些是常量、哪些是变量、哪些是已知量、哪些是未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系（等式或不等式），建立相应的数学结构（命题、表格、图形等），从而构造出所研究问题的数学模型。

在构造模型时究竟采用什么数学工具要根据问题的特征、建模的目的要求以及建模人的数学特长而定。可以这样讲，数学的任一分支在构造模型是都可能用到，而同一实际问题也可采用不同的数学方法构造出不同的数学模型。但在能够达到预期目的的前提下，尽量采用简单的数学工具，以便得到的模型能够具有更广泛的应用。

另外，在建立模型时究竟采用什么方法也要根据问题的性质和模型假设所提供的信息而定。随着现代技术的不断发展，建模的方法层出不穷，它们各有所长、各有所短。在建立模型时，可以同时采用，以取长补短，最终达到建模的目的。

在初步建立数学模型之后，一般还要进行必要的分析和简化，使其达到便于求解的形式，并根据研究问题的目的和要求，对其进行检查，主要看它是否能代表所研究的实际问题。

（4）模型求解

构造数学模型之后，再根据已知条件和数据、分析模型的特征和结构特点，设计或采用求解模型的数学方法和算法，主要包括解方程、画图形、逻辑运算、数值计算等各种传统的和现代的数学方法，特别是现代计算机技术和数学软件的使用，可以快速、准确地进行模型的求解。

（5）模型的分析与检验

根据建模的目的和要求，对模型求解的数值结果进行数学上的分析，主要采用的方法有：进行变量之间依赖关系的分析，进行稳定性分析，进行系统参数的灵敏度分析，进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就修改或增减模型假设条件，重新建立模型，直至符合要求；如果符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等。

在模型分析符合要求之后，还必须回到实际问题中对模型进行检验，利用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，即检验模型的正确性。如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型是成功的；如果理论数值与实际数值差别太大或部分不符，则模型是失败的。

若能肯定建模和求解过程准确无误的话，一般来讲，问题往往出在模型假设上。此时，应该对实际问题中的主次因素再次进行分析，如果某些因素因被忽略而使模型失败，则再建立模型时将其重新考虑进去。

修改时可能去掉或增加一些变量，也可能改变一些变量的性质；或者调整参数，或者改换数学方法，通常一个模型需要经过反复修改才能成功。因此，模型的检验对于模型的成败至关重要，必不可少。

（6）模型应用

目前，数学模型的应用已经非常广泛，越来越渗透到社会学科、生命学科、环境学科等各个领域。而模型的应用才是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的重要作用和意义。

归纳起来，数学建模的过程和主要步骤可用图1.1所示的流程图来表示。

图1.1 建立数学模型的主要步骤

应当强调的是：并不是所有的数学建模过程都必须按照上述步骤进行。上述步骤只是对数学建模过程的一个大致描述，实际建模时可以灵活应用。