GRE和GMAT数学里关于factor的两个易错点

首先是因子有正有负，尽管考试一般都会明确说positive factors，但没有明说的时候还是要考虑负的。这个问题曼哈顿的GRE和GMAT数学教材都搞错了，题目问factor个数，结果答案只考虑了positive factor的个数。

factor里面的质数，叫做prime factor，起码在GRE和GMAT数学里面，prime factor的个数跟右上角指数没有关系，为了避免误会，一般也会严谨点，明确说是distinct prime factor。

我们来看几个相关的题。

GRE比较题?

Quantity A: the number of factors of 10;

Quantity B: the number of distinct prime factors of 210.

10的正因数有1、2、5、10，负的还有对应的四个，所以一共是8个。

210=2*3*5*7，所以有四个正的质因数，注意，质数都是正的，所以质因数都是正的，没有负的，所以质因数就是4个。

所以前者大于后者。

GMAT Data Sufficiency?

How many different prime numbers are factors of the positive integer n? 

1). four different prime numbers are factors of 2n.

2). four different prime numbers are factors of n^2.

1. Statement (1) ALONE is sufficient, but statement (2) alone is not sufficient.
   
2. Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.
   
3. BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.
4. EACH statement ALONE is sufficient.
5. Statements (1) and (2) TOGETHER are not sufficient.

要确定n的质因数个数。条件1知道了2n的有4个，这不确定，因为n可能没有2这个质因数，含有另外3个，比如2n=2*3*5*7；但也可能n也有2这个质因数，2n=2*2*3*5*7=2^2*3*5*7。第一种情况下n有3个，第二种情况下n有4个。

条件2 要考虑到我们刚才说的质因数要不同的才算新的，而且这里也明确说了是different，所以跟右上角指数没有关系，不管是n的平方，还是三次方，或者是100次方，不同质因数的个数都取决于n，比如6^100=2^100*3^100，因为6拆出来两个质因数，所以6^100也是两个，反之亦然。所以在知道n^2有四个的情况下，就可以确定n也是4个，所以条件2可以确定，所以选B。

A positive integer with three distinct prime divisors cannot have how many total factors?

1. 20
2. 24
3. 36
4. 48
5. 54

我们课上讲过算positive factors的个数，是拆分质因式之后指数分别加1相乘。这里既然是三个不同的质因数，可以写成p^a*q^b*r^c，其中pqr是不同的质数，abc是大于等于1的整数，正因数个数相应地可以表示为(a+1)(b+1)(c+1)，total factors还要包括对应的负因子，所以乘以2，也就是2(a+1)(b+1)(c+1)，题目问不可能等于谁。首先可以一个个试，发现A不可能，其他都可以。其次，还可以这么考虑，因为abc都大于等于1，所以相乘最小是大家都是1的时候，也就得到16；其中一个大一点为2的话，就是24，完美路过了20，所以不可能是20。36可以是2*3*3*2=2(2+1)(2+1)(1+1)，48=2*3*2*4=2(2+1)(1+1)(3+1)，54=2*(2+1)(2+1)(2+1)。

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