牛津剑桥数学专业面试都在问什么？

众所周知，数学是理工类科学学科的基础，在众多留学专业选择中，数学专业也是近年来英国留学的热门专业选择之一。如今剑桥笔试已落下帷幕，面试近在咫尺，作为冲刺牛津剑桥的“最后一道关”，其重要性自然不言而喻。本期分享特为大家带来牛津剑桥官网公布的数学专业面试案例及思路，希望对大家的申请有所帮助。

图片源自 牛津大学官网

01、牛津大学数学专业面试

Q1、用2x1的瓷砖铺满2xn的矩形网格，总共有多少种方法？

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通常情况下，面试官并不希望申请者直接得出答案。他们更倾向于申请者能够从"n=1,n=2,n=3,n=4......"的情况下开始尝试，并逐步深入探索。

数学专业的面试通常需要申请者在纸上或电子白板上进行画图或计算，因此当学生画出草图时，会发现前四种情况的答案分别是“1、2、3、5”。

n=1的情况n=2的情况n=3的情况n=4的情况

接下来面试官通常会告诉申请者，当“n=8”或“n=13”时的答案，并询问申请者是否发现了其中蕴含的规律。答案其实是斐波那契数列，即数列中的每一项都等于前两项之和。申请者之前是否了解过这个知识点或者是否记得这个数列的名称并不重要。下一阶段面试的重点是考察申请者能否理解这一现象为什么会出现在这里，以及在思考的过程能中能否产生一些自己的想法。

接下来面试官可能会对问题进行适当延伸，比如提问“用3x1的瓷砖铺满3xn的矩形网格”或“用2x1的瓷砖铺满3xn的矩形网格”有多少种方法等。在这一阶段将着重考察申请者是否在之前的探索中有所收获，能否通过思考产生一些新的想法，并灵活运用它们来解决问题。

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Q2、想象梯子靠在垂直于底面的墙上，梯子的两脚着地，梯子的横档侧面被涂上了不同的颜色(从侧面看就可以看到)，当梯子掉到地板上时，中间横档的运动轨迹是什么形状?

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这个问题旨在考察申请者的信息筛选及处理能力，以及能否用数学思维思考正在发生的事情。

面试官首先会问申请者认为是什么形状，接下来需要申请者一步步验证自己的结论。有的申请者者可能会尝试画出梯子在不同阶段的草图，但是面试官想看到严谨的思考过程，比如运用数学方法(如方程式等)来模拟情况。

如果申请者在思考过程中遇到困难，面试官会尝试或给予提示，如：提示思考梯子与墙壁地面的关系等。最终面试者会发现梯子在每个阶段都与墙壁底面形成了一个直角三角形，有些面试者可能会立刻使用勾股定理来寻找答案（即梯子形成了一个四分之一圆，中心在地板和墙壁的交汇处)。

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通过以上问题，我们不难看出牛津大学数学专业面试所涉及的相关知识点可能并不深奥，比如铺瓷砖这个问题仅仅涉及到GSCE阶段的知识点，但知识点背后的复杂性以及对问题的适当拓展却能帮助大学招生官更好地考察申请者的学术能力、思维模式以及与大学/学科专业的匹配程度。

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02、剑桥大学

数学专业面试

根据剑桥数学系官网的描述，通常情况下申请者将会被要求解决一些数学相关的问题，比如：数字、数列、积分以及画图题等。有时也会涉及概率和一些基础力学的知识。如果申请者的目标是Maths with Physics专业，则至少会遇到一道关于力学的题目。

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Q1、从1到6000中，有多少个数不是2,3,5的倍数？

图片来源 剑桥Trinity College官网

通常情况下，剑桥大学的面试官同样并不希望申请者直接得出答案。他们更倾向于申请者能够从具体情况着手开始尝试。比如在面对包含1到6000的所有整数的集合时，可以先分别思考有多少个数是2的倍数，3的倍数与5的倍数。显然在1-6000中：

◆2的倍数有6000/2=3000个

◆3的倍数有6000/3＝2000个

◆5的倍数有6000/5＝1200个

这些数字共计6200个(3000+2000+1000)，但在这之中有被重复计算过的数字，例如数字6被计算过两次，因为它同时是2和3的倍数。因此像这样能被2和3整除的数字总共有6000/6=1000个；同理，同时能够被2和5整除的数字共有6000/10=600个；同时能够被3和5整除的数字共有6000/15=400个。

但在做减法的过程中，申请者需要注意那些同时能够被2,3,5整除的数字已经被重复删除过了，因此需要再添加它们，而这些数字总共有6000/(2x3x5)=200个。所以在1-6000的整数中2、3或5的倍数总共有4400个(3000+2000+1200-1000-600-400+200)。最后申请者也不难得出1-6000中不是2,3或5的倍数的整数共有6000-4400=1600个。

从这道面试问题中同样不难看出，背后涉及到的知识点同样并不复杂，而是着重考察申请者的学科思维与逻辑推理能力。

Q2、请画出函数y=sin(x)/x在[-2π，2π]区间的图像。

再以画图题为例，数学系给出的面试示例中，面试官首先写出了函数y=sin(x)/x，并希望申请者能够画出这个函数在区间[-2π，2π]的图像。

图片来源 剑桥大学官网

剑桥大学的面试官同样期望申请者能够从某些具体的"点"开始尝试，并逐步深入探索。比如可以先从x=π，x=0.5π，x=1.5π，x=2π等情况进行尝试。

图片来源 剑桥大学官网

这道面试题并不是单纯想考察申请者是否了解该函数，而是同样考察逻辑思维，以及如何通过关键特征并利用所学知识推断出函数图像。比如通过之前的尝试，可以确定几个关键点，再结合sin(x)的存在，可以推断出该函数为周期性函数，且周期为2π。

除此之外，根据函数表达式可以发现sin(x)的幅度(amplitude)也是不断下降的，然后通过极限法推导出x=0时函数值为1，再利用对称性判断出函数是以y轴对称的。最后要注意的是在y轴交点上别忘记画空心圆。

正如视频中的招生官所说：通过面试，大学可以很好地了解申请者是否具备在大学学习数学所需的知识储备，是否能够适应剑桥大学的教学模式，以及申请者的学术能力与学术热情，例如：在不同的数学观点之间建立联系的能力，逻辑思维的能力，快速理解新知识/概念并运用它们解决具有挑战性的问题，思维的灵活性，从不同角度分析问题并积极探索的数学好奇心，学科知识的灵活运用应用能力等等。

图片来源 剑桥大学官网

无论是牛津还是剑桥大学问的面试，比起正确答案，面试官更关注于大家的思考过程。因为单纯做对一道题目，仅仅意味着大家可能对某一特定领域比较熟悉或之前见到过类似的问题。所以大家在面试中，需要做的是努力尝试思考，与面试官保持交流并清晰地表达出自己的思路。

由于篇幅限制，本期关于牛津剑桥数学专业的面试案例与思路就此告一段落。