爱德思P4参式函数积分补充说明

童鞋们最近还好吗，2023年1月份爱德思考试马上就要到了，一定要苟住，不要在考试那几天羊。老师目前暂时苟住了但也是瑟瑟发抖中。今天给某位童鞋上网课，讲到爱德思P4 parametric equation（参式函数）的积分，突然想到一个容易让同学们疑惑的问题，就是参式函数的曲线如果不是一个x对一个y的类型，它跟x轴包围的面积用积分怎么算。这个问题课本上没有讲（我看了甚至连个图都没有），但做题的时候是非常容易遇到的，所以有必要补充说明。

首先我要解释清楚这个问题是什么意思：

一个参式函数x=f(t),y=g(t)的图像如果是一个x对一个y的曲线，像这样

那么它与x轴包围的面积就是

其中x=a时t=c，x=b时t=d。这是我们比较熟悉的方法。

但如果它的图像不是一个x对一个y的曲线，像这样

曲线不是完全夹在x=a和x=b之间，那它与x轴包围的面积（阴影部分）还是跟刚才一样的算法吗？这就是今天要讲的问题。

先说结论：是一样的。至于原理，我们把曲线分成3段，如图所示，每段的端点和对应的t值也写在图上。

我们要算的面积是S1+S2，先说S1，这个简单：

至于S2，我们把它看成曲线HK下方的面积（S2+S3）减去KB下方的面积（S3）。这里我们要先用关于x的积分来表示面积，注意我的写法，由于HK和KB两段曲线对应的x范围是相同的，所以我在y后面加括号来区分：

然后把这两个积分变成关于t的，下面是关键：

在HK这一段中，当x=b时t=i，当x=k时t=j，

在KB这一段中，当x=b时t=d，当x=k时t=j，

所以

然后再注意定积分有两个基本性质：

所以

最后把S1加上

这样就说明无论参式函数的曲线是不是一个x对一个y的，它与x轴包围的面积都是一样的算法。