我们知道小数和分数可以转换，比如0.25=25/100=1/4，但这是有限小数，相对简单。
无限循环小数该怎么转换呢？
基本思路是这样的，如果是0.xxxx…就用x/9，如果是0.xyxyxy…就用xy/99，如果是0.xyzxyz…就用xyz/999。
这首先可以按计算器验证一下，1/9=0.111…再乘以x那就是0.xxx…
其次也可以理解为假设0.xx…=P, 那么10P=x.xxx…，那么10P-P=x.xxx…-0.xxx…=x，所以9P=x，P=x/9。其他两个或者三个循环也是类似的道理。
不过有的时候可能不是如此简洁的都在小数点后面而且都在循环。
有可能是0.83333…这种3在循环，8也没有循环的。可以变回简洁的形式，8.333…/10=(8+3/9)/10=25/3/10=5/6。
还有可能小数点左边不为0，比如1.8333…可以是1+上面已知的5/6，也就是11/6，也可以写成18.333…/10=(18+3/9)/10=11/6
有了这些知识储备，我们来看看会怎么考。
例1: m and n are positive integers. What is the smallest possible value of integer m if
m/n = 0.3636363636...?
- A. 3
- B. 4
- C. 7
- D. 13
- E. 22
解析：0.36…=36/99，m要最小就是把这个分数化简也就是4/11，所以m最小是4。
例2: Suppose a,b,c are different integers, and the repeating decimal 0.abcabcabc...=m/n, where 0<m<n<100, m and n are both integers, 问n和39谁大谁小。
- n大
- 39大
- =
- 不确定
解析：abc/999=m/n，在m和n都是整数的情况下，起码有一种情况是m/n是左边分化简以后得到的结果，999的因子小于100的有37、27、9、3、1等，所以n可能就是37（比如0.540…=20/37），这时候小于39，不过还有可能m/n这个分数不是最简，比如0.540…=40/74，这时候n是74大于39。所以不确定和n的大小关系。类似的还有其他可能性，比如n跟27有关系，4/27=0.148…但也可能是8/54=0.148…这时候也不确定n跟39的大小关系。
例3: 0.abcde…表示无限循环的小数，其中abcde五个数位不同。有一个小数是满足上面形式要求的最小值，且这个小数可以写成1/n的形式，问小于n的最大整数是多少？
解析：0.abcde=abcde/99999，要变成1/n的形式，可以分子分母都除以abcde, 所以1/n=1/(99999/abcde)。abcde是满足形式最小的，且因为数位不同，所以是abcde就是01234，所以n=99999/1234=81.0364…所以小于n的最大整数是81。
【竞赛报名/项目咨询请加微信：mollywei007】
