2022年AIME考前知识点分析（四）

各位同学新年好，今天初三，春节继续给大家送福利，今天接着带来排列与组合、复数的讲解。

PART 1：排列和组合

在AMC中排列与组合考察的题目相对来说比较简单，主要通过以下方法进行求解：

① 常规的乘法原理、加法原理、排列与组合的混合运用；

②捆绑法、插空法等综合运用；

③排除法：at least, at most题型；

④分类讨论：不重不漏；

⑤重复排列、圆排列；

⑥伯努利分布、二项式定理、三项式定理或四项式定理的综合运用。

所以AMC在排列组合中难以出现比较困难的题目，只要以上知识点掌握熟练，然后注意细节，基本上还是不会出现特别困难的题目。但是在AIME题目中，以及比较困难的AMC题目，则从转化角度对排列组合这个知识点进行考察，基本上要把握好以下原则：

① 对文字语言转化为几何图形问题；

②把几何图形问题转化为方程组的解的问题，或者回到AMC所考察的知识点中来。

转化问题第I类：配对问题转化为几何图形问题

在AMC中曾经考察的类似题目为：

AMC 10-2012A-23

AMC 10-2012B-24

关于这两道题的解析，可以加后文的微信索取。AOPS的解析依然还是没有系统性的解决类似的的配对问题。

我们看一下AIME中的考察：

首先要理解这道题的题意，然后把这道文字题，转化为几何图形问题，就简单很多。

这道题很多同学疑问的地方是为什么10个围成一个圆圈符合、2个5+5的圆圈符合，而8+2，7+3,6+4的形式就不可以呢？因为注意到如果存在一个k使得条件不满足，则这个集合内部将实现一个置换。若使得不存在的置换，则只有两种情况，要么所有数是构成一整个置换，要么构成两个大小为5的置换，而8+2，7+3,6+4都可以找到一个相对称的置换。

当转化为几何图形时，分为四种情况，则题目就简单很多（注意：一共4种情况，容易漏其中一种或者两种）：

转化问题第II类：几何图形转化为方程组解的问题

下面同类型的题目就显得有点困难一些：

很多同学在处理这道题的时候，对减掉3*（50C2）不知道是什么原因导致的，这个题是经典的带限制条件的不定方程求组数解的题目。关于这个知识点，是AMC的知识点，我们简单再复习一下。

比如如下这两道题答案是不一样的：

①12x+4y+3z=567的非负整数解的组数；

②12x+4y+3z=567的正整数解的组数；

③12x+4y+3z=567且1≤x,y,z≤45的解的组数。

这个题目还是要用挡板法，用文字解释不清楚，语音比较方便，想要知道以上三个题目的区别，以及上文的“减掉3*（50C2）”的具体方法的，可以加我微信，然后语音和图片的方式来回复。有很多同学想要排除法，排除掉所有直角三角形和钝角三角形，也是可以的，就是略显麻烦。

我们再看一下在点拨（二）中提到的一道题：

上次我们是用代数的方法（具体可以看点拨二），现在我们用几何的方法再处理一遍：

考虑3行6列的18个不同的小球，每次我可以选若干的点，总共选6个点。S是这样的选择的总个数，但我们也可以用下面的综合计数的方法：我从18个球中任意挑选6个，这两种答案应该是一样的。因此答案就是18C6=18564。

转化问题第Ⅲ类：分类与分步

分类讨论是所有竞赛都会考察的数学思想，需要掌握以下几点：

①不重不漏：这是最重要的；

②建立的分类标准，不能使分的类别超过5种；

③在分类时，对于一些复杂的题目，要把个例和通例结合在一起综合思考。

分步最关键的是分步的路径，一旦路径的顺序错误，将会非常麻烦，甚至会出现错误。

现实中很多题目，分类和分步是难以清晰的分开的，两者紧密的结合在一起。我们看一道题目，堪称是分类和分步在一起的绝好典型：

下面给出这道题的解析：

因为分类和分步是常规的题型，技巧性很传统，这里不再做进一步赘述。

Part II：复数

AMC比较喜欢考察复数的基础，比如高次方程的解的存在性、高次方程的解所围成的图形的面积，比如类似下面的题目：

所有的点所围成的凸面图形的面积；

或者

的四个点正好是一个椭圆焦点弦（过椭圆的焦点与长轴垂直的弦）与椭圆的四个焦点，求离心率e，等等，总体上来说，AMC对复数的考察还比较基础，难题集中在复数的高次方程的几何意义这个点上。

而AIME则要复杂一些，它着重于与多项式、数列、韦达定理、二项式定理等结合在一起考察，而且很容易出现高次项。比如如下的题目：

在具体解这个题目之前，我们看以下内容（w≠1）：

以上，很容易看出来|w|=1，推到的方式都是用的等比数列求和公式。

记住第一个公式，以及相应它的变形，因为以后你会经常用到。

以上题目经过变形为：

到这里之后，可以有多种处理方法，比如：

①两边同时取模，当然需要对

两边也要取模，然后联立求角度的值，想一下这是为什么？

②利用两边实部相等，虚部相等，然后列两个式子，求角度的值；

③采用猜的形式，这个最简单，就是z^8,z^28只能是

想一下为什么？

 

同样的，如下题：

很容易验证：

这证明了S1，S2和S3应该是x^3+C=0的三个跟，然后剩下的就很简单了，这是为什么呢？

这证明了S1，S2和S3应该是x^3+C=0的三个跟，然后剩下的就很简单了，这是为什么呢？