AMC12竞赛多项式题目解答：根在哪里？

【AMC12题选】多项式，根在哪里？

有计划参加今年的AMC12的学生，从暑假开始就必须开始做备赛规划了。我近期将挑选几道AMC12真题做一些分析和点评，希望能对大家有所启发和思考。

我们在前两篇文章里分别选择了计数问题（见《【AMC12题选】计数问题中的斐波那契数列》）和数论问题（见《【AMC12题选】吓死人的质因数分解》）。第三篇我们选一道代数问题，确切地说是多项式问题。

代数题在AMC10和AMC12中都是很重要的题目类型，因为中学阶段的主要学习内容就是代数和几何两大分支。多项式又是代数中的入门内容。一方面，多项式的性质相对于代数中其他概念来说是比较简单的；另一方面，在多项式的学习过程中积累的经验和能力有助于学习其他内容。

当然，多项式的性质简单并不意味着相关的题目也一定简单。只要条件设置得当，多项式题目也可以很难。

下面这道题在AMC12中是第23题，可见它不会是容易解决的问题。题目如下：

P(x)和Q(x)都是首项系数为1的二次多项式。已知P(Q(x))的根为x=-23, -21, -17, -15，Q(P(x))的根为x=-59, -57, -51, -49。P(x)和Q(x)的最小值的和是多少？

由于P(x)和Q(x)都是二次多项式，所以P(Q(x))和Q(P(x))都是四次多项式，它们分别有四个根也就很自然了。根据题目条件，我们可以设 P(x)=x²+b₁x+c₁, Q(x)=x²+b₂x+c₂,

然后就可以推导出P(Q(x))和Q(P(x))的表达式。事实上，沿着这条路径往下走确实可以解决这个问题。一方面，我们根据上面的待定系数表达式可以写出P(Q(x))的表达式；另一方面，由于P(Q(x))的根为-23, -21, -17, -15，所以

P(Q(x))=(x+23)(x+21)(x+17)(x+15),

从而可以推出b₁, c₁, b₂, c₂要满足的一些等式关系。对Q(P(x))重复以上操作又可得到更多的等式关系。从这些等式就可以确定b₁, c₁, b₂, c₂的值。

然而，这个解法没有什么“营养”。固然，在解答过程中我们用到了与多项式的根相关的性质，也做了一些表达式的运算，但这些操作的连接非常简单，就像在用力的时候只是用“蛮力”而没有太多的技巧配合。我们当然不能指望解答每一道题都可以做到“四两拨千斤”，但只有把力量和技巧结合得恰到好处才是最佳的策略。

数学的解题练习从来都不是只为了得到正确的答案。如果费了半天劲做完一道题而没有对解答方法中涉及的概念和性质有更多的理解和领悟，做这道题就像“狗熊掰玉米”，掰了很多又丢了很多。

我们应该有这样的意识：解答一道题，是为了（用更多的时间）去体会和反思其中的思想方法。没有解答在前，自然也就无从体会和反思；看别人的解答也是可以的，但效果相差很大。从解答到体会和反思是一个完整的链条，只有把这个链条走完，才能获得最大的能力提升。

现在我们回到题目本身。由于直接写P(Q(x))的表达式比较复杂，我们可以换一个角度，从P(Q(x))的根的意义出发。

如果x的某个值使得P(Q(x))=0，说明Q(x)的值恰好是P(x)的一个根。设P(x)的两个根为h₁, h₂。则P(Q(x))的四个根中，应该有两个使得 Q(x)-h₁=0成立。另外两个使得 Q(x)-h₂=0成立。注意到这两个二次方程的一次项系数是一样的（都是b₂），根据根与系数的关系，它们的两个根的和是一样的。不妨设Q(x)-h₁=0的两个根是-23和-15，Q(x)-h₂=0的两个根是-21和-17。立即可以推出 b₂=-(-23-15)=-(-21-17)=38.类似地，如果x的某个值使得Q(P(x))=0，说明P(x)的值恰好是Q(x)的一个根。重复上面的过程，可以得到 b₁=-(-59-49)=-(-57-51)=108.接下来求c₁, c₂的值。把Q(x)-h₁=0改写为 c₂=h₁-x²-b₂x=h₁-x²-38x.

当x=-15或-23时上面的等式都成立，所以c₂=h₁+345.

从Q(x)-h₂=0出发，又可推出c₂=h₂+357. 把这两个等式相加，并注意到h₁和h₂是P(x)的两个根，可得到2c₂=(h₁+h₂)+702=594, 即c₂=297. 于是 Q(x)=x²+38x+297=(x+19)²-64.所以Q(x)的最小值是-64。并且 h₁=Q(-15)=-48, h₂=Q(-17)=-60,即P(x)的两个根分别是-48和-60。因此， P(x)=(x+48)(x+60)=(x+54)²-36.所以P(x)的最小值是-36。