2023年阿里巴巴全球数学竞赛分析与方程第一题解答

2023年阿里巴巴全球数学竞赛在前些日子落下帷幕，其中“分析与方程”方向中的第1题是一个相对容易的题目，中学生也可完成解答，题目如下：

这是一道老题，早在2001年首届中国西部数学奥林匹克竞赛中，就有一道类似的题目。那道题中的数列不等式的递推式与本题相同，但初值与本题不同，且所需证明的不等式要松上许多。遇到常数项为零的二次函数为递推式的结构，一般可对递推式两边同时取倒数进行代数变形。具体步骤如下?

除此之外我们也可以通过数学归纳法求解?

^{数学归纳法一✦}

^{数学归纳法二✦}

这一方法相对前面两个方法而言，技巧性稍逊且运算量较大，好在不等式比较松，所以能够奏效。

笔者把这个问题稍作变化，得到如下的两个问题，大家可以尝试求解，难度较低。

此外我们整理了与上述问题结构类似的赛题大家也可尝试求解?