2023 AMC 考前冲刺攻略排列组合篇解析

还有两个月即将开赛,不少同学觉得 AMC 10 考试里排列组合题不容易,尤其组合题不知道用哪个公式方法才合适。

组合公式Ⅰ

2023 AMC 考前冲刺攻略——排列组合篇

这个公式课内和竞赛都会常常用到。我在刚学的时候把它联想成“做值日”问题,四个同学中,选三名同学做值日就相当于选一名同学放学直接回家。

比如,班里有 A、B、C、D 四个同学,每天要选出三个同学做值日,有几种选法?这个问题对于学过排列组合的同学自然非常简单了,就是 C 4 抽 3,但是,假如问一个没学过排列组合的人,他会怎么想呢?如果想 ABC,ACD……这种就会比较难想,不如去想它的反面:选A、B、C 或 D 放学直接回家,总共就四种。这就能直观的理解这个公式了。

这个公式对于运算 C 10 抽 8 这样的组合数时非常有用,直接转化成 C 10 抽 2 来计算。

组合公式Ⅱ

2023 AMC 考前冲刺攻略——排列组合篇

这个公式课内会提到,但不要求熟练掌握,竞赛会常用。可以把它联想成“约同学玩剧本杀”问题,看看在四个同学中,想约两个同学有几种约法。如果四个人都是普通朋友,看作是相同的 A、B、C、D,那自然有 C 4 抽 2 = 6 种约法。

下面我们来点刺激的:假如这四个人中有一个是戏精本精,他最特殊,你会先问他来不来:①如果他来,但你还想一共约两个同学,那么就需要在其他三个同学中再约一个,有 C 3 抽 1 ,共 3种方法;

②如果他不来,那你就需要在其他三个同学再约两个,有 C 3 抽 2 共 3 种方法。

两类相加,表示的意义就是从 4 个同学中约两个同学的情况总数,即公式成立。

这个公式对于处理两个组合数相加问题非常有用,落实在计算上,我把它总结成口诀:上面的数字取大的,底下的数字加一

组合公式Ⅲ

2023 AMC 考前冲刺攻略——排列组合篇

这个公式课内和竞赛都会常常用到。我把它叫做抓兔子问题,想象一个笼子里有两只兔子,抓出来的话有几种抓法?

第一种方法是我去笼子里抓,我在抓的时候就想好是抓 1 只还是抓 2 只,或是抓 0 只(即不抓)。由于先想好了这一点,就会有 C 2 抽 1 和 C 2 抽 2 这些组合数,分别表示按“抓一只”、“抓两只” 分类,每类的情况数;

第二种情况是我把笼子打开,让每只兔子自己选择跳出来或是不跳出来(2 种可能性),每只兔子都是独立的个体,所以可以用乘法原理,总共的情况数是 n 个 2 相乘,即 2 的 n 次方。

两种方法都表示“兔子出来的情况数”,因此一样,即公式得以解释。

这个公式对于处理一系列“底下相同的”组合数相加的问题非常好用,大大节省计算量。而且它与集合、二项式定理等中学数学知识紧密相连,需深入理解。

组合公式Ⅳ

2023 AMC 考前冲刺攻略——排列组合篇

这个公式一般在竞赛中会出现。我把它叫做火车头问题:抽出的一些元素,总有一个打头的,称为火车头,它也是火车的一节,只不过是特殊的一节。

具体来讲,比如说你要在 A、B、C、D、E 这 5 个小球中抽取 3 个小球,咱们可以按“哪个小球是第一个”分类

第一类:A 为火车头,那么还需在后面四个小球中抽取两个小球;

第二类:B 为火车头,那么还需在后面三个小球中抽取两个小球;

第三类:C 为火车头,那么还需在后面两个小球中抽取两个小球。

至于 D 或 E 开头的,就不足“三节车厢”了,故不计算。我们把之前说的三类加起来,就直观地理解了这个公式。

这个公式对于处理一系列“上面相同的”组合数相加的问题非常好用,大大节省计算量。记忆方法是:和为上面下面都加一。

组合公式Ⅴ

2023 AMC 考前冲刺攻略——排列组合篇

这个公式是一个相加和相乘结合的公式,看似复杂,但并不难理解。我对它的理解是:可以想象成班里选几名学生,分男女选和不分男女选情况数一样。

比如说,咱们假设班里有 7 名学生,4 男 3 女。如果选出三个人参加竞赛有几种选法?首先容易想到的是 C 7 抽 3 = 35。没错,不过咱们还有一个思路,就是按“男女各多少人”分类讨论。

第一类:0 男 3 女,分别抽取,再乘起来。

第二类:1 男 2 女,分别抽取,再乘起来。

第三类:2 男 1 女,分别抽取,再乘起来。

第四类:3 男 0 女,分别抽取,再乘起来。

这四类是互不重叠的,可用加法原理将其相加。原公式就得以直观理解。

在 AMC 考试中,一般排列组合的知识点题几乎在第 15 题之后,难度一般属于中等偏难,也是决定晋级与否的制胜题范畴,我们的冲刺班也是集中制胜题的讲解和方法技巧。

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