2023-2024年USACO竞赛第一次月考题目公布

截至昨晚，2023-2024赛季UASCO竞赛第一场晋级赛正式结束，目前USACO晋级赛最新试题已经出炉，没能当场晋级的同学们可以耐心等待一周，一周内USACO官方将会公布本次晋级赛成绩。

今天为大家带来的是12月USACO竞赛第一次晋级赛的试题解析

USACO竞赛最新试题

P1Candy Cane Feast

农夫约翰的奶牛很爱吃甜食，它们特别喜欢吃甘蔗糖！FJ有N头牛，每头牛都有一定的初始身高，他想喂它们M每根也有不同高度（1≤N，M≤2·10^5)。

按照它们在输入中的顺序，FJ计划将甘蔗糖一根接一根地喂给奶牛。为了给奶牛喂甘蔗糖，他会把甘蔗糖挂起来，这样甘蔗糖一开始就刚好碰到地面。然后，奶牛将按照输入的顺序一头接一头地排队，走到甘蔗糖前，每头牛都吃到自己的高度（因为它们不能再高了）。即使在奶牛吃掉糖果棒的底部后，糖果棒也会悬挂在最初设置的位置，不会下降到地面。如果甘蔗的底部已经超过奶牛的高度，那么奶牛在轮到它的时候可能什么都不吃。

轮到每头牛后，奶牛的身高会根据它们吃了多少单位的甘蔗糖而增加，农民约翰挂上下一根甘蔗糖，奶牛再次重复这个过程（第一头牛再次成为第一个开始吃下一根拐杖糖的人）。INPUT FORMAT（pipestdin）：第一行包含N和M。下一行包含N的初始高度奶牛，每头都在[1-10^9]范围内。下一行包含M的高度糖果手杖，每根在[1-10^9]范围内。OUTPUT FORMAT (pipe stdout):每个N的最终高度奶牛在不同的线上。

请注意，此问题中涉及的大尺寸整数可能需要使用64位整数数据类型（例如，C/C++中的“long-long”）。样本输入：3 23 2 56 1样本输出：727第一根甘蔗是6根单位高。第一头牛吃掉第一根甘蔗糖的部分，直到高度3之后，第一根甘蔗糖的剩余部分占据高度[3，6]。第二头牛不够高，吃不下第一根甘蔗糖的任何剩余部分。第三头牛多吃两个单位的第一根甘蔗糖。

第一根甘蔗糖的剩余部分，占据高度[5,6]，不吃。接下来，每头奶牛的生长量与它的进食量相等，因此奶牛的高度变为[3+3，2+0，5+2]=[6,2,7]。第二根甘蔗是1根一个单位高，第一头牛吃掉了所有的。范围输入2-10:N，M≤10^3输入11-14：无其他约束。

⭐机构解析⭐

这个题是个有意思的暴力问题

考虑一个子问题：

一个数初始是1，每一次操作是让它乘2，要求这个数小于等于n，求最多能操作多少次

这个问题的答案比较显然是log2n次

那考虑当前的问题，考虑第一头牛，如果牛比甘蔗矮，那么它吃完甘蔗后高度乘22；如果牛比甘蔗高，此轮吃甘蔗结束。

所以这一题直接暴力模拟做到甘蔗被吃完复杂度就是对的。

时间复杂度：O(nlog2n)

知识点：暴力，时间复杂度分析

P2CowntactTracing2

农夫约翰有N排成一行的奶牛（1≤N≤3·10^5)。不幸的是，有一种疾病正在蔓延。

最初，一些奶牛开始被感染。每天晚上，受感染的奶牛都会将疾病传播给左右两侧的奶牛（如果存在的话）。一旦奶牛被感染，它就会继续被感染。

经过几个晚上，农夫约翰意识到问题已经失控，所以他对奶牛进行了测试，以确定谁生病了。找出可能开始患病的奶牛的最小数量。

INPUT FORMAT（pipe stdin）：

第一行包含N，农夫约翰的奶牛数量。下一行包含一个N只有1的字符位字符串s和0

s其中1表示受感染的奶牛和0表示经过一些夜晚后未受感染的奶牛。

输出格式（pipe stdout）：输出一个整数：可能开始生病的奶牛的最小数量。样本输入：511111样本输出：

1

假设中间的奶牛是唯一一头开始被感染的奶牛。然后奶牛会按照以下顺序被感染：

0晚：00100（第三头奶牛最初被感染）

1晚：->01110（第二头和第四头奶牛现在被感染）

2晚：->11111（第一头和第五头奶牛现在被感染）

3晚：->11111（所有奶牛都已被感染，因此没有其他奶牛被感染）

->。。。

在两个或多个晚上之后，奶牛的最终状态看起来就像输入。还有许多其他初始状态和夜晚数可能会产生输入状态，例如：

0晚：10001

1晚：->11011

2晚：->11111

或者：

0晚：01001

1晚：->11111

或者：

0晚：01000

1晚：->11100

2晚：->11110

3晚：->11

111所有这些初始状态都包含至少一头受感染的奶牛。样本输入：

6

011101

样本输出：4唯一可能导致这种最终状态的初始状态和夜晚数是，如果没有夜晚过去，输入的四头受感染的奶牛中的每一头都开始生病。评分：输入3-7:N≤1000输入8-12：无其他约束。

⭐机构解析⭐

首先我们可以根据输入计算出1的扩散时间最长是多少（时间越长需要的初始点就越少）注意边界和中间的计算方式不同，中间扩散的结果是1,3,5,...,2*n-1，而边界是1,2,3,...,n$因为边界可以放在最角落开始）计算出最长扩散时间max_time后我们就可以对每一段连续为1计算初始最少需要放几个1 : len = 2*max_time+1 (len代表连续1个数)最终将答案相加即可

时间复杂度：O(n)

知识点：贪心，边界条件判断

P3Farmer John Actually Farms

农民约翰正在种植N（1≤N≤2·10^5)他的农场里种着芦笋！然而，他的一些植物有遗传差异，所以有些植物会比其他植物生长得更快。i的初始高度

第th株是hi英寸，每天之后

第th种植物生长ai英寸。

FJ比其他植物更喜欢他的一些植物，他希望一些特定的植物比其他植物高。他给你一组不同的值t1，…，tN包含0中的所有整数至N−1

他想要我第th株植物正好有ti其他比它高的植物。

找到最小天数，以便FJ的要求得到满足，或者确定这是不可能的。

INPUT FORMAT（标准输入）：第一个将由一个整数T组成，表示独立测试用例的数量（1≤T≤10）。每个测试用例的第一行由一个整数N组成。第二行由N组成整数hi（1≤hi≤109）表示i的初始高度第th株（英寸）。第三行由N组成整数ai（1≤ai≤109）表示英寸数i每株植物每天都在生长。第四行由N组成不同整数ti表示FJ给你的数组。

保证N的总和在所有测试用例中，不超过2·10^5。输出格式（管道标准输出）：输出T行，每个测试用例的答案在不同的行上。如果不可能，输出−1。

请注意，此问题中涉及的大尺寸整数可能需要使用64位整数数据类型（例如，C/C++中的“long-long”）。样本输入：61101027 38 101 023 610 80 127 38 91 027 78 80 127 38 81 0样本输出：0325-1-1

在第一个样本输入中，有6个测试用例。

在第一个测试案例中，只有一个工厂，因此在第0天满足条件。

在第二个测试案例中，我们需要第一个植物比第二个植物短。第1天之后，高度分别为15和13。第二天之后，高度都是23。第3天之后，高度分别为31和33，这是满足条件的第一天。

第三个和第四个测试用例与第二个类似。

在第五个测试案例中，两种植物的初始高度均为7，生长速率均为8。因此，它们总是有相同的高度，因此这种条件永远不会得到满足。

在第六个测试案例中，最初不满足条件，并且增长率相同。所以这个条件永远不能满足。

样本输入：257 4 1 10 123 4 5 2 12 1 0 3 454 10 12 7 13 1 1 4 52 4 3 1 0样本输出：47在第二个样本输入中，有2个测试用例。在第一个测试案例中，第4天之后的最终高度为19、20、21、18、16。在第二个测试案例中，第7天之后的最终高度为25、17、19、35、36。评分：输入3:N≤2输入4-5:N≤50且ai，hi≤103输入6-8:N≤103输入9-13：没有其他限制。

⭐机构解析⭐

考虑根据最终的排序结果来确定有多少条件，容易发现其实只有$n-1$个有效的不等式，即第1个小于第2个，第2个小于第3个，...

根据不等式origin_score[i]+increase[i]*t =origin_score[j]+increase[j]*t可以解出t对应的范围

最终对于所有不等式结果求出交集，如果不为空就输出最小值，否则输出-1

时间复杂度：O(n)

知识点：简单数学