AMC8真题第10期解析-不等式

上一期的AMC8真题主要考察了素数、单位换算、方程和不等式等知识哦。

来看看本期老师带来的答案解析吧！

第1题

The numbers from 1 to 49 are arranged in a spiral pattern on a square grid, beginning at the center. The first few numbers have been entered into the grid below. Consider the four numbers that will appear in the shaded squares, on the same diagonal as the number 7. How many of these four numbers are prime?

从1到49的数字在正方形网格上以螺旋形排列，从中心开始。前几个数字已经输入到下面的表格中。考虑将出现在阴影正方形中的四个数字，它们与数字7在同一对角线上。这四个数中有几个是素数?

这道题目最稳妥的方法就是一个一个数，得出阴影中的四个数字再判断。

我们把数字都标出来，得到下图：

 那么阴影的数字分别为39，19，23，47。

要知道有几个素数，同学们需要了解素数的概念：

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数 ，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

阴影的四个数，只有19，23和47除了1和数字本身，不能被其他自然数整除，

而39除了能被1和39整除，还能被3、13整除，

因此这四个数中有三个是素数。

第2题Viswam walks half a mile to get to school each day. His route consists of 10 city blocks of equal length and he takes 1 minute to walk each block. Today, after walking 5 blocks, Viswam discovers he has to make a detour, walking 3 blocks of equal length instead of 1 block to reach the next corner. From the time he starts his detour, at what speed, in mph, must he walk, in order to get to school at his usual time?

Viswam每天步行半英里去上学。他的路线由10个长度相等的城市街区组成，每个街区走1分钟。今天，在走了5个街区后，Viswam发现他必须绕道才能到达下一个街角（如下图所示）。从他开始绕路的那一刻起，为了在平时的时间到达学校，他必须以多快的速度(以英里为单位)步行?  

这道题考察数字运算和单位换算。

已知全程长度为半英里，一共10个街区，步行经过每个街区需要1分钟，

所以一个街区的长度为0.05英里，Viswam原本行走的恒定速度为0.05英里/分钟，

时间=路程÷速度，

所以平时花费的时间为0.5英里÷0.05英里/分钟=10分钟。

由图可知，Viswam今天多走了2×0.05=0.1英里，

如果需要和平时一个时间到学校，步行花费时间应该和平时相等，即都为10分钟。

已知今天走了5个街区后，还剩下5个街区要走，且时间已经过去了5分钟，

那么剩下的路程为5×0.05+2×0.05，剩下的时间为5分钟，

假设需要速度为X英里/分钟才能和平时同一时间到校，

可以列出等式：

（5×0.05+2×0.05）÷X=5

X=0.07英里/分钟

题目问的单位是mph（英里/小时），所以再用0.07×60分钟=4.2mph，

因此，Viswam必须以4.2mph步行才能准时到达学校。

第3题

Fifteen integers a1, a2, a3,..., a15 are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that 1≤a1≤10，13≤a2≤20 and 241≤a15≤250. What is the sum of digits of a14?

15个整数a1，a2，a3…，a15在数轴上按顺序排列。整数间隔相等，且1≤a1≤10，13≤a2≤20，241≤a15≤250。问a14的数字和是多少?

我们可以通过寻找符合条件的数，从而找到共同差的可能值。

首先，最后两项的最小值为241-20=221，最大值为250-13=237，

因为17×13=221，所以17符合221≤13X≤237。

18同理，18×13=234，符合条件。

而19×13＞237，不符合条件。

现在，我们用同样的方法检查第一和最后一项式子，

已知241-10≤14X≤250-1，

因此，231≤14X≤249。

所以18不符合该不等式，而17才能同时符合两个不等式的差值。

最后一步，求出第一项，已知第一项仅能是1-3，因为任何更大的值都会让第二个不等式不成立。

将1，2，3分别代入，只有a1=3符合不等式条件。

因此，a14=13×17+3=224，

a14的数字和=2+2+4=8，

因此答案为8。

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