很多家长会希望自己的孩子通过暑假比较集中的学习提高数学成绩，但很少有家长能够分得清楚数学知识和数学能力的区别。
数学知识指的是学生是否能够了解更多的概念，更多的符号表达和更多的基本知识，而数学能力则更多的是指学生的计算速度，计算稳定性，计算精确度，数学思想的掌握程度和解题的灵活程度。
一般来说，一个学生可以在不提高数学能力的情况下提高他的数学知识，也可以在不提高他的数学知识的情况提高他的数学能力。例如可能有的学生数学一直是7，80分的水平。那么这意味着这个学生在学校上课或者标准的培训计划之后基本能够掌握数学知识，但是每次数学考试总是有比较困难的大题和一些计算上的失误。因此这个学生掌握数学知识的能力没有问题，但是他的数学能力相比每次考试96+的学生就有所欠缺。
提升一个学生的数学知识总是相对比较容易的，因为对于一些基本的概念，哪怕是接受比较慢的学生，在不断的重复之后也能够掌握大概的意思。例如求导（derivative）由于是微积分中的概念似乎听起来十分高大上，但是绝大多数学生经过学习都能够掌握最基本的幂函数求导公式。
但是能够把求导的代数意义，几何意义，计算难点和技巧掌握的学生就少很多。有很多学生直到最后考试的时候也很难掌握其中的一些计算技巧。
而这实际上从这些学生学习更早的知识点的时候就能看出来了，例如如果一个学生在学习三角函数的时候很难掌握三角恒等变换的变形技巧，那么我就可以预判他大概率很难掌握微积分求导与积分的变形技巧。
那么如何提高一个学生的数学能力呢？首先，要先找出他数学能力中的薄弱点，而这其实并不需要看他最新的知识掌握的如何。
很多家长有一个误区，以为只有学生最新最近的试卷才能反映学生的数学水平，实际上最近的试卷反映的更多是“学生目前的学习进度”和“学生在刚接触一部分知识的时候”的学习能力，相比较而言我更喜欢看对于某些知识已经学习过一段时间的试卷。例如相比于某次月考试卷，我更愿意看某个学期的期末考试试卷。
期末试卷中的错题更能反映出这个学生已经付出了相当多的努力，但是由于数学能力有限还是无法完成的部分。其次，检测到学生数学的薄弱点之后，我们有两种策略提高他的成绩：
1 实打实提高学习能力
这种办法需要的时间比较长，不过属于是“玄门正宗”，方法其实也是老生长谈，无非就是多做题，多练。老师能够起到的作用也不过就是针对学生当下的思维误区提供具有针对性的训练题目。
不过这里有一个家长很容易出现的误区，就是家长认为所谓的多学多练就是反复练习同样或者类似的事情，只要同样的考试卷子，例如IGCSE或者AS的内容学生还没学会，就让学生反复练习。对于许多学生来说，反复练习相同的知识点可能会让他们感到厌烦。
在数学课程的设计上，许多前置学习的内容实际上是为了解决后续更复杂的问题。例如，在纯数方向的课程中，P1和P2部分的知识，实际上是为了解决P3和P4部分的更复杂问题。如果学生没有接触到P3和P4的知识，他们可能不清楚学习P1和P2的知识究竟有何用处，因此可能会对P1和P2中的一些二级结论产生抵触情绪。
这样一来，尽管学生在P1和P2中总是能够取得不错的成绩，但对于解题技巧的掌握可能就不会特别熟练。因为学生缺乏掌握这些解题技巧的动机，所以在这个时候适当引入P3和P4的学习内容，反而可能是提高学生数学能力更快的方法。而一味地练习学生已经基本掌握但尚未熟练掌握的内容，可能会打击学生的积极性。
2 拆分二级结论
有的学生和家长可能还会问，提升数学能力，难道除了实打实的做题提高还有别的方法吗？其实是有的，很多学生其实由于备考时间比较紧张，或者思维习惯的原因，很难掌握一些特定的数学能力，会导致每次题目考察到对应的数学能力学生就会丢分。但是在A level考试中，很多题型的考法其实比较单一，考来考去就是那么几种出题办法。
每一个特定的章节大概会涉及3-5个左右的二级结论和15-20个左右的三级结论，也就是说每道题目大概会涉及到1-2个二级结论和3-4个三级结论，如果你教材知识掌握的很好，数学能力也比较好的话，大概率你会对这个1-2级结论很熟悉，甚至能够记住，然后需要通过推理或者计算计算出你需要的三级结论。
但是如果我们在教学中就把这些内容直接教给学生并让学生记住，那么即使是数学能力有限的孩子也能够在标准化考试中得到良好的成绩。
家长和学生需要注意，通过反复练习和记忆在考试中常见的结论，虽然可能在考试中取得良好的成绩，但这并不意味着孩子的数学能力真正得到了提升。他们可能只是记住了一些结论，而没有深入理解数学原理。当然，随着时间的推移，孩子可能会逐渐领悟到这些结论背后的数学原理，但仅靠这种方式，学生在数学能力上的锻炼是有限的。
如果想要在未来提高孩子的数学能力，关键在于进一步学习新知识，并在这一过程中进行总结和反思。通过不断接触和解决新问题，学生能够更深入地理解数学概念，提高解决问题的能力。
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