费马大定理之代数数论简介 (1)

本系列为大家带来基础代数数论的整理，最终会设计费马大定理一部分情形的证明，敬请期待

该系列的主要内容用英文编写，每篇文章会有中文的简介，帮助读者梳理思路，更好地完成阅读。所需要的知识主要为Galois理论和基础的交换代数，一些结论在第0节中分类整理，因此请读者先浏览第0节，如果有严重的知识漏洞可以考虑系统地学习。

如果读者想要系统地学习相关理论，可以参考一下书籍：

• Introduction to Commutative Algebra by M. F. Atiyah & I. G. MacDonald (1994)
• Algebra with Galois Theory by Emil Artin (2007)
• 基础拓扑学讲义 by 尤承业 (1997)
• Algebraic Number Theory by J.S. Milne (1998)
• Introduction to Cyclotomic Fields by Lawrence C. Washington (1997)
• Fermat's Last Theorem for Regular Primes by Keith Conrad

前两本为基础知识以供参考，这里写第三本主要是提供一个了解点集拓扑概念的渠道，实际上本系列中仅应用了欧式空间的拓扑，因此掌握一些分析知识就足够了。如果想要系统学习第一本可以学习第三本的点集拓扑部分。

第四本为本系列主要参考书籍，第五、六本为费马大定理的部分情况证明相关的知识。第六本为一篇论文，其中引用了第五本第五章的一个结论为引理，而该结论需要解析数论作为基础，因此本系列最终会直接使用该引理而不加证明。

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本期文章包含三个小节："Review of basic knowledge", "Ring of Integers","Discriminant"，即“基础知识回顾”、“代数整数环”、“判别式”。

第0节“基础知识回顾”请读者自行阅览。

第1节“代数整数环”介绍了整的基本性质，环  在环  上整，如果  的元素均为  上的代数整数。一个重要的结论是整的传递性，即若  在  上整、  在  上整，那么  在  上整。一个环称为整闭的，如果其在分式域的整数闭包就是自身。可以证明  在  中的整数闭包是整闭的。

第2节“判别式”从线性代数出发定义了环扩张  中元素的迹和范数，进而定义了自由模环扩张的判别式。为了计算该判别式，引入了不可约多项式的判别式。最后，列举了两类不可约多项式的判别式的计算。判别式的作用会在下一节中提到，敬请期待。