费马大定理之代数数论简介 (2)

往期内容：

费马大定理之代数数论简介 (1)

本系列为大家带来基础代数数论的整理，最终会设计费马大定理一部分情形的证明，敬请期待

该系列的主要内容用英文编写，每篇文章会有中文的简介，帮助读者梳理思路，更好地完成阅读。所需要的知识主要为Galois理论和基础的交换代数，一些结论在第0节中分类整理，因此请读者先浏览第0节，如果有严重的知识漏洞可以考虑系统地学习。

如果读者想要系统地学习相关理论，可以参考一下书籍：

• Introduction to Commutative Algebra by M. F. Atiyah & I. G. MacDonald (1994)

• Algebra with Galois Theory by Emil Artin (2007)

• 基础拓扑学讲义 by 尤承业 (1997)

• Algebraic Number Theory by J.S. Milne (1998)

• Introduction to Cyclotomic Fields by Lawrence C. Washington (1997)

• Fermat's Last Theorem for Regular Primes by Keith Conrad

前两本为基础知识以供参考，这里写第三本主要是提供一个了解点集拓扑概念的渠道，实际上本系列中仅应用了欧式空间的拓扑，因此掌握一些分析知识就足够了。如果想要系统学习第一本可以学习第三本的点集拓扑部分。

第四本为本系列主要参考书籍，第五、六本为费马大定理的部分情况证明相关的知识。第六本为一篇论文，其中引用了第五本第五章的一个结论为引理，而该结论需要解析数论作为基础，因此本系列最终会直接使用该引理而不加证明。

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以下为pdf文件，第二份为精简后的手册版本，便于查找引用。

a brief introduction to algebraic number theory_3-21.pdf

a brief introduction to algebraic number theory (maflet ver.)_3-11.pdf

本期包含两个小节："Finding the ring of integers", "Dedekind domains"，即“求解代数整数环”、“戴德金环”。

第3节“求解代数整数环”主要介绍了求解的方法，具体来说先证明了代数整数环一定是  的自由模，因此只需要求出生成基即可。一种简单的情形为找到了一组域扩张的基，并且说明了这组基的判别式不含平方因子，那么由于代数整数环判别式为该基除以一个整数的平方，因此两者一定相等，故该组基生成了代数整数环。

对于一般的情况，我们给出了代数整数环的上、下界，这两界之间的次数是有限的，因此可以通过计算枚举的方式求解代数整数环。对于数学证明，该命题也可以排除很多情况。最后，我们求解了素数的幂次的分圆域的代数整数环。

第4节“戴德金环”。由于代数整数环通常不是唯一分解整环，因此引入戴德金环作为代数整数环的重要特征。戴德金环的定义为诺特+整闭+素理想极大，一个等价的定义为所有非零理想可以唯一分解为素理想之积。

而我们可以证明戴德金环在扩域中的整数闭包也是戴德金环，因此代数整数环均为戴德金环。