2023美赛问题A：遭受旱灾的植物群落
1、问题描述与要求
背景
不同的植物群落对压力的反应不同。例如，草原对干旱非常敏感。干旱发生的频率和严重程度不同。但大量的观察表明，不同物种的数量对植物群落如何在连续多代干旱周期中的适应能力起到了重要作用。在一些仅有单一物种的植物群落中，后代不像有4种或更多物种的群落中的个体植物那样容易适应干旱条件。这些观察引出了许多问题：例如，对于一个植物群落，要从这种局部生物多样性中受益，最少需要多少种物种？随着物种数量的增加，这种现象如何发展？这对植物群落的长期生存性意味着什么？
要求
考虑到植物群落中干旱适应性与物种数量的关系，您的任务是探索和更好地理解这一现象。具体地，您应该：
●开发一个数学模型，预测植物群落随着不同的不规则天气周期的变化。在降水充足的时期应包括降雨的时间。该模型应考虑干旱周期中不同物种之间的相互作用。
●探讨你能从你的模型中得出什么结论，关于植物群体与更大环境的长期相互作用。考虑以下问题：
①要使植物群落受益，需要的不同植物物种数量是多少，随着物种数量的增加会发生什么？
②社区中的物种类型如何影响你的结果？
③未来天气周期中干旱发生的频率和变化范围的影响是什么？如果干旱较少，物种数量对总人口的影响是否相同？
④污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论？
⑤您的模型表明应该采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，对更大环境的影响是什么？
2、问题分析
01、这是一道微分方程建模题目，建立模型是关键，模型求解并不难，基于模型的分析和讨论可以发挥想象力。
02、需要先找到相关研究论文，根据论文中提出物种与环境的关系的原理模型，建立微分方程的数学模型。论文中会给出具体的数学模型，可能是偏微分方程，能够求解就直接用；如果不会就简化为常微分方程也可以。
03、微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。本题显然是研究几种物种的数量随时间的变化规律。
04、特别注意：给定初始条件的一阶常微分方程（组）的标准形式是：
微分方程是微分方程组，式中的 y 是数组向量，有几个物种就有几个变量，y i ( t )表示物种 i 的总量随时间 t 的变化。
也就是说，可以先建立一种或两种物种的模型，分析变化趋势，再依次增多物种数量，分析变化趋势。
05、特别注意：构造外部条件及降雨量随时间的变化函数。降雨量函数要满足题目要求：（1）不同的不规则天气周期，既要有干旱周期，又要有降水周期，还要有间隔周期；（2）干旱发生的频率和变化范围。
如何构造合理的降雨量函数，可以体现能力和创新的。思路一是设计的降雨量函数包含不同的可能模式，思路二是降雨量函数包括地球上典型的干旱模式，思路三是找到非洲地区的降雨量统计。
06、特别注意：污染和栖息地减少等其他因素的影响，需要在模型中增加一个系数，或者一项，反映污染和栖息地减少的影响。直接在模型中增加一个系数，比较简单。进一步地，可以构思污染与种群总数相关，是一个随种群总数变化的系数。
07、特别注意：采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，应该通过模型研究得到结论。
建议首先查找资料找到一种或多种靠谱的措施，然后将其量化为一个系数或一项加入模型（跟污染系数的原理是一致的），通过模型研究措施的影响，证明采取的措施是有效的。简单地，既然污染会破坏环境，那么防止污染就可以保护环境，可以抑制污染系数的增大。又如，水土保持能否量化为模型参数？食物链能否构造模型？
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