上期我们聊过了 AMC 10 和 AMC 12 中数论板块需要掌握哪些课内数学不常见的题型。今天我们继续探讨一下 AMC 10 和 AMC 12 中计数部分的竞赛题型。
Counting Skills 计数部分
计数问题中较为核心的公式定理，例如排列组合以及概率论的知识。无论是在中国还是在北美的数学教育体系中，都是从高中阶段才开始系统性学习，主要为引出后续的二项式定理。
不过竞赛中关于计数部分，则更多强调对分步计数 (乘法原理) 和 分类计数 （加法原理）的理解和应用。即便掌握了阶乘，排列和组合的公式，并不意味着就能驾驭竞赛中的计数部分。
作为数学竞赛中的一大难点，计数类问题的种类繁多，一方面针对不同类型问题有不同的求解方法，另一方面又可以与代数几何等其他部分相结合。在 AMC 10/12 的考试中，计数类问题是最后五道问题甚至压轴题的常客。
下面的例子是从计数的分类题库中抽出的具有代表性的类型：
竞赛中的计数问题主要包括：
①用等差数列计数
2006 AMC 10 A09
②组合数在难题中的使用
2017 AMC 10 B17
③用“对称性”解题
2020 AMC 10 B25
④概率问题中的分类讨论
2020 AMC 10 A13
⑤计数问题中的分类讨论
2020 AMC 10 A17
⑥用画面积的方法解决概率问题
2015 AMC 10 A25
⑦“组内去序”问题
2019 AMC 10 A17
⑧先分类，再细分
2021 AMC 12 A23
⑨隔板法解的应用
2018 AMC 10 A11
⑩图形中的计数
2019 AMC 10 A10
今天的内容就先分享到这里，我们下期会聊一聊 AMC 10 和 AMC 12 的代数板块中，需要掌握的课内不常见的题型。
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