2022年英国数学奥林匹克（第二轮）中文翻译

英国数学奥林匹克（British Mathematical Olympiad，简称BMO）是英国的数学竞赛，英国国际数学奥林匹克代表队选拔过程的一部分。比赛分两轮，称为BMO1和BMO2。
第一轮一般在每年12月举行，第二轮在次年的一月底或二月初举行。两轮的考试时间均为3.5小时，第一轮共6题，第二轮共4题。
今年第一轮的试题翻译见：2021-2022年英国数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译。

1. 对给定的正整数，如果整数同时满足如下两个条件，则称为-数：

• 能表示为两个相差的整数之积；
• 恰比某个完全平方数小． 求所有整数，使得存在无穷多个-数．

1. 求所有函数：，使得对任意正整数，，均有
2. 将副完全相同的牌组放入一些盒子中，每副牌组包含张牌，标记为到．每个盒子中最多能放张牌．如果一堆盒子中所包含的每种标记的牌总数相同，则称这堆盒子是规则的．证明：存在正整数，对任意，都可以将所有盒子分成两个非空的规则堆．
3. 设锐角三角形的外接圆为．过、分别作的垂线、．点在劣弧上，过点作的切线和、分别交于点和点．过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点．若点在上，求证：过点．