之前介绍了杨氏模量 (Young's modulus) 的概念，这次我们来做一下关于杨氏模量的 BPhO 竞赛题，这是 Section2 的其中一问，难度比较大。不看答案，自己能不能做出来？
A piece of elastic cord of length 
and cross-sectional area A is stretched to twice its natural length. Assuming that the total volume remains constant, and that cross-sectional area is uniform along its length, and the Young's modulus E for the material remains constant,
(i) obtain an expression for the final tension in terms of E and A.
(ii) Show that the work done in stretching the elastic is given by:
答案解析：
(i) 题目中说把弹力绳 (elastic cord) 抻长为原长的 2 倍，同时体积不能变，横截面积保持一致，先做个图：
上图为弹性绳在力的作用下被抻长为原长的 2 倍，此过程体积不变，所以：
被抻长后，弹性绳的横截面积 A' 变为原来的二分之一。
目前弹性绳形变情况已知，要求受力情况，把形变和受力联结起来的物理量是杨氏模量，所以根据定义展开杨氏模量：
当弹性绳被抻长到 
时，上式中的 F 即是我们要求的 final tension，此时弹性绳的横截面积是 A' = A / 2，伸长量 
，原长还是 
，代入上式有：
即为本题答案。
(ii) 小问中需求拉伸弹性绳的过程中外力所做的功。弹性绳越长、弹力越大，又因为外力等于弹力，所以外力 F 也是一个逐渐增大的变力。如果力是定值，且和位移在同一方向上，那么做功公式是：W = F s；本题中是变力做功，需要用到积分公式，即：
为了展开积分公式中的 F，我们接下来要找到力 F 与向右的位移 x 的关系，作图更加直观：
由于都是将弹性绳拉长
，两个力在两端拉、和只有一端的力拉所做的功是一样的。为了简化问题，我们索性把弹性绳左端固定在墙壁上，只研究弹性绳右侧力 F(x) 将弹性绳拉伸 
所做的功。如上图，以弹性绳右端点为原点，向右作 x 轴，以此来研究力 F(x) 随位移 x 的变化。
假设力 F(x) 将弹性绳抻长任意距离 x，如下图绿线所示：
此时，弹性绳长度变为 
，但整个过程中体积不变，所以新的横截面积 A’ 就是：
横截面积有了，我们还是像上一个小问一样，把杨氏模量按其定义展开：
当弹性绳伸长 x 以后，上式中的长度变化 
即为 x，横截面积 A 为 A'，代入上式有：
由此找到了力 F 随形变量 x 变化的通式。不妨验证一下：将 
代入上式，得出的 F 与第 1 小问结果相符，具有一致性。
下面将 F(x) 代入变力做功的积分公式，进行数学计算后即为本题答案。注意积分的下限是弹性绳起始状态、不受力，有 
；积分上限对应末状态，即 
：
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