2023年MCM数学建模美赛A题解题思路！（4）

2023年数学建模美赛A题

1、问题描述与要求

背景

不同的植物群落对压力的反应不同。例如，草原对干旱非常敏感。干旱发生的频率和严重程度不同。但大量的观察表明，不同物种的数量对植物群落如何在连续多代干旱周期中的适应能力起到了重要作用。

在一些仅有单一物种的植物群落中，后代不像有4种或更多物种的群落中的个体植物那样容易适应干旱条件。这些观察引出了许多问题：例如，对于一个植物群落，要从这种局部生物多样性中受益，最少需要多少种物种？随着物种数量的增加，这种现象如何发展？这对植物群落的长期生存性意味着什么？

要求

考虑到植物群落中干旱适应性与物种数量的关系，您的任务是探索和更好地理解这一现象。具体地，您应该：

●开发一个数学模型，预测植物群落随着不同的不规则天气周期的变化。在降水充足的时期应包括降雨的时间。该模型应考虑干旱周期中不同物种之间的相互作用。

●探讨你能从你的模型中得出什么结论，关于植物群体与更大环境的长期相互作用。考虑以下问题：

①要使植物群落受益，需要的不同植物物种数量是多少，随着物种数量的增加会发生什么？

②社区中的物种类型如何影响你的结果？

③未来天气周期中干旱发生的频率和变化范围的影响是什么？如果干旱较少，物种数量对总人口的影响是否相同？

④污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论？

⑤您的模型表明应该采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，对更大环境的影响是什么？

2、问题分析

01、这是一道微分方程建模题目，建立模型是关键，模型求解并不难，基于模型的分析和讨论可以发挥想象力。

02、需要先找到相关研究论文，根据论文中提出物种与环境的关系的原理模型，建立微分方程的数学模型。论文中会给出具体的数学模型，可能是偏微分方程，能够求解就直接用；如果不会就简化为常微分方程也可以。

03、微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。本题显然是研究几种物种的数量随时间的变化规律。

04、特别注意：给定初始条件的一阶常微分方程（组）的标准形式是：

微分方程是微分方程组，式中的 y 是数组向量，有几个物种就有几个变量，y i ( t )表示物种 i 的总量随时间 t 的变化。

也就是说，可以先建立一种或两种物种的模型，分析变化趋势，再依次增多物种数量，分析变化趋势。

05、特别注意：构造外部条件及降雨量随时间的变化函数。降雨量函数要满足题目要求：

（1）不同的不规则天气周期，既要有干旱周期，又要有降水周期，还要有间隔周期；

（2）干旱发生的频率和变化范围。

如何构造合理的降雨量函数，可以体现能力和创新的。思路一是设计的降雨量函数包含不同的可能模式，思路二是降雨量函数包括地球上典型的干旱模式，思路三是找到非洲地区的降雨量统计。

06、特别注意：污染和栖息地减少等其他因素的影响，需要在模型中增加一个系数，或者一项，反映污染和栖息地减少的影响。直接在模型中增加一个系数，比较简单。进一步地，可以构思污染与种群总数相关，是一个随种群总数变化的系数。

07、特别注意：采取什么措施以确保植物群落的长期生存力，应该通过模型研究得到结论。

建议首先查找资料找到一种或多种靠谱的措施，然后将其量化为一个系数或一项加入模型（跟污染系数的原理是一致的），通过模型研究措施的影响，证明采取的措施是有效的。简单地，既然污染会破坏环境，那么防止污染就可以保护环境，可以抑制污染系数的增大。又如，水土保持能否量化为模型参数？食物链能否构造模型？

3、种间竞争关系理论

常微分方程与生态学有什么关联？生态学理论一直以种群动态为根基。它涌现出所谓生物多样性、空间分布格局、种间互作，也是功能性状、物候等话题在应用生态学中的归宿。

1、 Malthus人口理论

1798年Malthus提出的人口理论被认为是生态学第一定律。Malthus指出，一切生物在“不受外力”的影响下，都以恒定的速率 k 增长。用微分方程可表达为：

该方程可直接用定积分（或不定积分）求解，结果为：

这是一个指数曲线， 称为「自然繁殖（normal reproduction） 。

由于资源有限，当种群个体数过大时竞争激烈，故种群增长率会有所下降。所以 k 不是一个恒值，而是关于 x 的函数：

函数f(x)应当是在x>0范围内随x增加而单调递减的函数。根据麦克劳林展开式：

当x足够小时，任何光滑函数可用线性函数作近似，因此:

求解微分方程，可得：

2、捕食者-猎物系统

Lotka（1910）和Volterra（1926）分别提出了捕食者–猎物系统的种群动态模型，称为Lotka–Volterra模型。该模型假设：捕食者、猎物相遇的几率与双方的种群个体数成正比；捕食者捕食猎物的频次与相遇频次成正比；捕食者种群增长率与捕食猎物的频次成正比；捕食者以恒定的速率死亡。

这个二元系统（捕食者+猎物）动态会如何变化：

► 捕食者、猎物种群动态的相位曲线如何？

► 捕食者、猎物种群动态是达到稳定平衡，还是有限环，还是混沌？或者说，相位曲线会呈螺旋形，造成系统崩溃或收敛到一个稳定点？

► 受到外界扰动时，捕食者、猎物种群动态还能保持稳定吗？

①为什么到达平衡的时间经常是无穷大？

②初值对Lotka–Volterra模型行为的影响

③无扰动下Lotka–Volterra有限环大小不变

4、参考数据

5、参考资料

(1) 植被变化与降水量、降水变率的关系

(2) 长期降水量变化下荒漠草原植物生物量、多样性及其影响因素研究

(3) 荒漠植物幼苗对模拟降水量变化的响应

(4) 中亚地区1982年至2002年植被指数与气温和降水的相关性分析

(5) 内蒙古典型草原生长季内植物生长动态的数学模型与计算机模拟研究

(6) 降水量的季节分配对羊草草原群落地上部生物量影响的数学模型

(7) 干旱区荒漠植被生态需水量计算方法研究

(8) 干旱半干旱区植被生态需水量计算方法评述

(9) 基于数学模型的干旱区植被耗水量估算

(10) 乌审旗植被覆盖度动态变化及其与降水量的关系

(11) 归一化植被指数与降水量,土壤湿度的关系

文章源于CSDN作者——youcans

查找资料和数据的网站

找数据：

众所周知，国赛需要的数据都会以Excel或其他的形式放入附件中，而美赛与国赛不同的是，这几年的比赛几乎都不给数据，就算是给了参考数据的ICM，其网站也会因为某种原因导致打不开，这里推荐一些数据的查询地址：

美国统计局：

http://www.census.gov/

美国农业部数据：

https://www.usda.gov/topics/data

世界卫生组织数据：

https://www.who.int/data/gho

美国政府网站：

https://www.usa.gov/

美国劳工部劳动统计局：

http://www.bls.gov/

美国商务部：

https://www.commerce.gov/

美国国际贸易协会：

http://www.usitc.gov/

美国交通统计局：

http://www.bts.gov/

美国国家统计局：

http://www.fedstats.gov/

缺数据：

部分情况下，真实数据不易找到，可以尝试以下两个解决办法：

第一，如果这道题并没有限定国家，可以考虑以中国作为研究对象，找自己国家的数据还是相对较为简单。

第二，利用数据挖掘的能力，需要一定的技术手段去收集数据，比如爬虫技术，自己去爬一些可能用得到的内容。或者可以去一些数据科学竞赛平台上去找一些现成可用的数据集，如:

天池大数据数据集：

https://tianchi.aliyun.com/dataset/?spm=5176.12281905.0.0.358b5699IjonJQ

UCI机器学习数据库：

https://archive.ics.uci.edu/ml/index.php