第 1 题. 证明对于任意一对正整数 k 和 n, 都存在 k 个 (不必不相同的) 正整数 m1, m2, . . . , mk, 使得
第 2 题. 平面上的 4027 个点称为是一个哥伦比亚式点集, 如果其中任意三点不共线, 且有 2013 个点是红色的, 2014 个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线, 可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件, 我们就称这是一个好直线组:
- 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点;
- 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点.
求 k 的最小值, 使得对于任意的哥伦比亚式点集, 都存在由 k 条直线构成的好直线组.
第 3 题. 设三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆与边 BC 相切于点 A1 . 类似地, 分别用顶点 B 和顶点 C 所对的旁切圆定义 CA 边上的点 B1 和 AB 边上的点 C1. 假设三角形 A1B1C1 的外接圆圆心在三角形 ABC 的外接圆上. 证明：三角形 ABC 是直角三角形.
三角形 ABC 的顶点 A 所对的 旁切圆 是指与边 BC 相切，并且与边 AB, AC 的延长线相切的圆. 顶点 B，C 所对的旁切圆可类似定义．
第 4 题. 设三角形 ABC 是一个锐角三角形, 其垂心为 H, 设 W 是边 BC 上一点, 与顶点 B,C 均不重合. M 和 N 分别是过顶点 B 和 C 的高的垂足. 记三角形 BWN 的外接圆为 ω1, 设 X 是 ω1 上一点, 且 WX 是 ω1 的直径. 类似地, 记三角形 CWM 的外接圆为 ω2, 设 Y 是 ω2 上一点, 且 WY 是 ω2 的直径. 证明: 点 X, Y 和 H 共线.
第 5 题. 记 Q>0 是所有正有理数组成的集合. 设函数 f : Q>0 → R 满足如下三个条件:
第 6 题. 设整数 n 3 , 在圆周上有 n + 1 个等分点. 用数 0, 1, . . . , n 标记这些点, 每个数字恰好用一次. 考虑所有可能的标记方式; 如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到, 那么认为这两种标记方式是同一个. 一种标记方式称为是 漂亮的, 如果对于任意满足 a + d = b + c 的四个标记数 a < b < c < d, 连接标 a 和 d 的点的弦与连接标 b 和 c 的点的弦都不相交.设 M 是漂亮的标记方式的总数, 又设 N 是满足 x + y n , 且 gcd(x, y) = 1 的有序正整数对 (x, y)的个数. 证明:M = N + 1.
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