1.设J为三角形ABC 顶点A 所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC 相切于点M ，与直线AB 和AC 分别相切于点K 和L . 直线LM 和BJ 相交于点F ，直线KM 与CJ相交于点G . 设S 是直线 AF 和BC 的交点，T 是直线AG 和BC 的交点.
证明： M 是线段ST 的中点．
（三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆是指与边BC 相切，并且与边 AB, AC 的延长线相切的 圆.）
2.设整数n≥ 3 ，正实数 a2 ,a3 , ,an 满足a2a3 an = 1 ．证明：
3．“欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行， 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k 和n.
游戏开始时甲先选定两个整数x 和N , 1≤ x ≤ N . 甲如实告诉乙N 的值， 但对x 守口如瓶. 乙现 在试图通过如下方式的提问来获得关于x 的信息: 每次提问，乙任选一个由若干正整数组成的集合 S （可以重复使用之前提问中使用过的集合），问甲“ x 是否属于S ?”. 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后， 甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”，甲可以说谎话，并且说谎的次数 没有限制，唯一的限制是甲在任意连续k +1次回答中至少有一次回答是真话.
在乙问完所有想问的问题之后，乙必须指出一个至多包含n 个正整数的集合X ，若x 属于X ， 则乙获胜； 否则甲获胜. 证明：
（1）若n ≥2k ，则乙可保证获胜；
（2）对所有充分大的整数k ，存在整数n ≥1.99k ，使得乙无法保证获胜.
4.求所有的函数f∶→，使得对所有满足 a+b+c=0 的整数a,b,c ，都有
（这里表示整数集．）
5.已知三角形ABC中，∠BCA = 90° ，D 是过顶点 C 的高的垂足. 设X是线段CD 内部的一点. K 是线段AX上一点， 使得BK=BC ．L 是线段 BX上一点， 使得AL=AC . 设 M 是AL 与 BK 的交点.
证明: MK = ML ．
6.求所有的正整数n, 使得存在非负整数a1 , a2 , , an ，满足
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