A组

1. 求证：对任意正整数，没有（）形式的质因子．
2. 四边形内接于圆，为对角线的中点．，，，分别为，，，的内切圆圆心．求证：和的外接圆与的两个交点构成一组对径点．
   注：对圆上的两点和，称和为一组对径点，即为的一条直径．
3. Alice和Bob进行一个游戏，从一个长度为的二进制字符串开始．在每一回合中，字符串最右边的数字被删除．如果被删除的数字是，Alice在最左边加上一个她想要的数字；否则，Bob在最左边加上一个他想要的数字．
   Alice需要在最短的回合内将字符串变为全是，即个；而Bob需要让该回合数变得尽可能大，或者完全阻止Alice达成目标．
   (a)如果两人都完成得足够好，是否存在字符串，使得Bob可以完全阻止Alice达成目标．
   (b)如果(a)的答案是肯定的，求出所有这样的字符串；如果(a)的答案是否定的，求出Alice达成目标的最大回合数，并求出达到最大回合数时的字符串．

B组

1. ，，为区间中的实数，且满足．求的最大值．
2. 设为奇质数．求证：对任意整数，存在整数和，使得．
3. 在中，点为点到的垂足，点为点到的垂足．设为的外接圆，为上一点，且满足．设为的中点，为和的第二个交点．为上一点，且满足平行于．求证：，，，四点共圆．