团体赛

1. 一个邪恶的女巫在制作毒药．为了使药水起作用，毒箭蛙的数量不能超过，狼牙的数量必须是偶数，龙鳞的数量必须是的倍数，她也可以放入任意数量的虎钉．已知此毒药共有份材料，女巫有多少种方式添加材料，使得毒药起效？

2. 为满足如下条件的最小正整数：对任意，均为正整数．设为的约数个数，求的约数个数．

3. 设，记跑遍所有正整数时，的最大值为．如果和为互质的正整数，求除以的余数．

4. Abby和Ben的弟弟Carl想要糖果．Abby有个不同的糖果，Ben有个不同的糖果．他们打算给Carl一些糖果．由于Ben想成为比Abby更好的哥哥，他打算比Abby多给Carl块糖果．设Abby和Ben给Carl糖果的不同方式共有种，求的正约数个数．

5. 给定实数，满足，定义实值函数，其中．对，极坐标方程表示一个左焦点位于原点的椭圆．设椭圆的面积为．已知，其中和为互质的正整数．求．

6. Jack在玩一个游戏，首先，他掷一枚六面等概率的骰子，得到一个数字．然后，他开始掷硬币，如果掷出连续次正面，则取得胜利；如果掷出连续次反面，则他再掷一次骰子，并重新进行游戏．Jack在取得胜利前掷硬币的次数的期望是多少？

7. 多项式的所有根均为单位根．称实数是“好的”，如果为多项式的一个根，且的虚部为正．设为所有“好的”实数之和，，其中和为互质的正整数，求．

8. 新一届的PUMaC比赛将邀请个学生，编号为，，，．开始时，学生们被分为组，每组人，学生被分到每一组的概率相同．在每一组中，编号最小的学生获胜，获胜者进入第二轮．在进入第二轮的名学生中，随机从中选出一个冠军．设冠军编号的期望为，其中和为互质的正整数，求．

9. 设为半径为的圆的一条直径．点在上，且．点为上另一点，满足．设点为点关于中点的对称点，点为点关于中点的对称点．若的面积为，其中和为互质的正整数，求．

10. 求使得为整数，且满足的正整数组的组数．

11. 满足，，．设为满足以下条件的面积最小的三角形：平行于，平行于，平行于，且和的外接圆内切．直线和的外接圆再次交于点．求．

12. 给定整数，定义实数列，，，满足对任意，都有．若对某个，能为整数，则称下标是好的．求区间中所有不好的下标之和．

13. 给定正整数及其质因数分解式，定义．设为满足的最大奇数，为满足的最小奇数．设，其中为非零整数，为质数．求．

14. Heron将要观看一部共有集的节目，该节目每天发布一集．Heron想在首播那天观看第一集和最后一集，他不想连续两天不看该节目，且可以在一天内观看任意多集．用表示Heron观看该节目的总方法数，设为满足的第小的．求的值．

15. 锐角满足，．设，分别为，在对边的垂足，为的垂心．设为外接圆上劣弧上的一点，且满足，为到的垂足．若，，求的度数．