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A组

在正八边形中随机选择两条不同的对角线，设这两条对角线在正八边形内部相交的概率为，和为互质的正整数，求的值．
个人排成一队进入杂货店，其中人戴黑色口罩，人戴灰色口罩，人戴白色口罩．假设所有人按照随机的顺序排队，相邻且戴不同颜色口罩的二人组个数的期望为，和为互质的正整数，求的值．
Nelson让他的朋友从一栋英尺高的建筑物上扔下他独特的弹力球，而Nelson只会在每次球弹到最高点时接住球．在每次反弹中，弹力球能达到的最高点有的概率为上一次最高点高度的，有的概率为上一次最高点高度的倍（初始高度为英尺）．若Nelson只能接住英尺高度的球，且他会尽快接住球．设Nelson在球恰好反弹次时接住的概率为，其中，，，，均为整数．求的值．
编号为，，，的片睡莲从左到右拍成一行．一只青蛙随机选择一片睡莲开始，每过一秒跳到一片相邻的睡莲上．如果存在两片睡莲，当青蛙在其上时，向右跳的概率是向左跳的两倍．且在有限秒之后，存在两片睡莲和，使得青蛙在上的概率为在上概率的倍以上．求最小的，使得该情况一定会发生．
一台普林斯顿老虎机上有张图片，每张出现的概率相同，其中一张图片为老虎．Alice和Bob独立地进行游戏，直到看见老虎的图片后停止．已知Bob所用时间为Alice的两倍，设Alice的游戏次数的期望为，和为互质的正整数，求除以的余数．
Alice，Bob和Carol进行一个游戏．每一回合，他们其中一人说出名玩家的名字之一，从Alice,Bob,Carol中随机选择．游戏从Alice开始，Bob第二，Carol第三，接下来重复这个顺序．设首次出现三个名字都被说出次时的回合数期望为．设，和为互质的正整数，求的值．
Cassidy有一个由和构成的位字符串，其中为正整数，每次Cassidy选择以下两个操作之一：

将第一位改变（即将变成，或者将变成）；
将第一个的后一位改变．

设为Cassidy将改变为（均为位）所需要的最少次数，为最终能改变为的为字符串的个数．求的值．

普林斯顿大学的物理学家们正在尝试使用以下实验分析原子纠缠．开始时，空间中只有一个原子，它按照以下程序开始分裂．若在分钟后存在原子，，，在下一分钟每个原子分裂成四个新的原子，，，．原子和是纠缠的，当且仅当原子和在第分钟后是纠缠的．此外，对任意，，原子和原子也是纠缠的．在第一分钟后有个原子，在第二分钟后有个原子，依此类推．
物理学家们对其中有奇数对纠缠原子的四原子无序集感兴趣．请问：分钟后有多少个这样的四原子无序集？
注：请注意原子纠缠不是传递的．换言之，若和纠缠，和纠缠，不意味着和纠缠．

B组

如果在一个非空单词中，元音字母（A、E、I、O、U）和辅音字母（其余所有字母）交替出现，则称它为可发音词．不重复地使用字母P、U、M、A、C，最多能组成多少个可发音词？单词的长度可以小于．
Neel和Roshan将前往纽瓦克自由国际机场各自搭乘航班．Neel计划在早上5:30到6:30之间的某个随机时间到达，而Roshan计划在早上5:40到6:40之间的某个随机时间到达．两人想在机场安检前短暂见面．因此，他们约定每个人在到达机场后将等待分钟，再通过安检．设使得他们至少有的概率见面的的最小值为的形式，其中，，均为整数，且无以外的平方因子．求．
同A组第1题
同A组第2题
同A组第3题
同A组第4题
同A组第5题
同A组第6题