由于最近高强度更新的蒋氏数学内容过于硬核，今天给大家带来一点简单数学。
相信读者朋友们都有肉身不带雨伞过在大雨中奔跑的经历。我个人非常喜欢硕大雨点拍在脸上的感觉。每次在雨中行走时，我都会想，究竟是在雨中跑快点淋的雨少还是慢慢走淋的雨少呢？以前我猜测跑快点淋的雨多，因为明显雨点打在脸上更痛，不过也仅是猜测，没有严谨验证。接下来我将通过数学建模的方式来稍微研究一下。也就是研究移动速度和淋雨量的关系。
首先，假设的情景是：正在下雨，一个人在户外，想要从一个地方走到另一个地方，但他没有带雨伞或者雨衣。此时他想要找到一个最合适的速度移动过去而淋到最少的雨。跑还是不跑，这是个问题。
接下来是把这个现实情景简化成能够处理的模型。以下是模型的前提：
1. 这个人以匀速直线运动
2. 这个人是一个长方体
3. 降雨量稳定且没有风
以下是整个模型用到的所有乱七八糟的变量。大概看看就好，之后都会有详细解释。
要研究这个问题，首先要搞明白什么是雨。在这个模型中，雨应当被理解为一种类气体物质，或者叫“雨气”。它体积无限大，并以匀速垂直向下运动。它有两个重要的量：雨水密度ρ 和下落速度 VR。下落速度很好理解。雨水密度并不是指水的密度，而是在单位体积的“雨气”中水的质量。
模型中的雨
上图展示了雨的两个性质。如果图中方块区域的雨气体积是1m3，那么这个区域中就包含了ρ千克的水。
再考虑地上面积为A的一块区域，这块区域单位时间内的淋雨量则为ρ * VR * A，单位为[kg/s]。经过t秒，这块区域就有M 千克的雨打在上面：
拓展到所有情况，也就是：
这个简单公式就是整个模型的核心。对于上图中的最简单情景，由于平面A是静止的，有效速度VE等于雨的下落速度VR。而平面和雨也没有夹角，有效面积AE等于平面面积A。
接下来将逐一解释VEAEtρ四个重要变量。
一个方块人在雨中移动
当一个（方块）人在雨中移动时，从图中可以看到两个速度，雨的下落速度VR和人的移动速度Vp. 为了方便分析，我们换个参考系，让人保持静止，把人的速度给加到雨的速度上。这样就会得到一个速度更快而且斜着的雨。
雨天坐高铁或飞机的时候可以看到斜着的雨
斜的雨
用一点三角函数和向量的知识，可以得到：
和
雨的角度和有效速度十分重要。角度决定了最终的有效面积，而有效速度直接影响淋雨量。很明显，当雨水密度一定时，雨的速度越快，那每秒打在身上的水就越多。
方块人
模型中的方块人高H米，宽W米，厚T米。由于我们假设无风，当他在雨中向前走的时候，只有正面和顶部会接触到雨。所以我们也只需要考虑正面和顶部的面积。
使用一些小学数学：
顶部面积 A1 = TW
正面面积 A2 = HW
由于雨可能是斜的，正面和顶部并不完全暴露在雨中，而是根据角度变化。此时就要考虑有效淋雨面积。
有效面积
上图中的蓝线代表方块人的真实面积，红线表示实际在淋雨的有效面积。再用一点初中三角函数来表示：
顶部有效面积 A1E = A1cos(θ)
正面有效面积 A2E = A2sin(θ)
总有效面积 AE = A1E + A2E
同时记得：
A1 = TW
A2 = HW
结合一下：
至此，相信大家已经轻松理解基础公式
中的VE和AE，我们继续分析t和ρ。
这个人的目的地距离始发地的距离为d米，而他的速度为Vp。那么移动所耗的时间就是：
最后，我们要定义并解释最后一个变量ρ。
为了模型的准确性和适用性，我们最好能够使用真实的数据。首先我们来看一下现实中降雨量是如何表示的。日常生活中，读者朋友们肯定听说过“降雨量xx毫米”之类的播报。最常用的降雨量单位是[mm/m2/day]，也就是“毫米每平方米每天”，简称“毫米”。
意思是一平方米的地面每天可以积累的雨水高度，等同于[L/m2/day]，“升每平方米每天”。例如，如果我们说有一场降雨量为100mm的暴雨，那么意思就是这场雨中每天平方米土地都能积起100mm深的水（如果不排水），或者每平方米土地都被浇上了100L雨水。
仅使用降雨量的数据是不够的，我们还需要雨的速度。当雨滴在云层中形成后，它首先会因重力而向下加速，而后又因风阻和重力达到力平衡，最后雨滴将维持一个恒定的终端速度落地。根据一些论文，雨滴的终端速度与其体积有直接关系，而雨滴体积又与降雨量是直接相关的。降雨量越大，雨滴平均尺寸越大，终端速度也越高。
用降雨量，终端速度和液体密度来得到雨水密度：
量纲分析验证一下准确性：
注意到此公式中用到的降雨量IS与常用降雨量IC单位不同，需要转换一下。例如，从[mm/m2/day]转换为：[Lm-2s-1]：
除了[mm m-2 day-1]，还有一些其他的常用降雨量单位，如[mm m-2 hour-1]，[mm m-2 month-1]和[mm m-2 year-1]。代入数据时稍稍转换一下即可。
至此，基本方程中的四个变量都解释完了，现在总结一下。
基本方程：
每个变量：
有效雨速度
有效淋雨面积
淋雨时间
雨水密度
全部放在一起：
用这个公式就可以分析移动速度和淋雨量的关系了。M是应变量，VP是自变量，除此之外都是常量。接下来，我们将合适的常量代入进去来看看结果如何。
假设这个人高1.8米，宽1.5米，厚0.3米。他要走总共1000米直线。正在下雨。随便选了一个中雨的降雨量25 mm m-2 day-1，也就是0.00029 Lm-2s-1。
我们查一下这个降雨量下的雨滴终端速度。
降雨量和雨滴直径的关系
(Cerdá, A. “Rainfall Drop Size Distribution in the Western Mediterranean Basin, València, Spain.” CATENA, vol. 30, no. 2-3, 1997, pp. 169–182., doi:10.1016/s0341-8162(97)00019-2.)
通过这篇论文收集分析的信息，我们可以找到降雨量和雨滴直径的关系。将25 mm m-2 day-1转换为上图中使用的单位，为1.04 mm m-2 hour-1。根据作者给出的趋势线：
把1.04 mm m-2 hour-1代入，得到：
也就是说在这个降雨量下水滴的平均直径大约是0.079cm。
然后，我们再找到一篇研究雨滴尺寸和终端速度的论文。
雨滴直径与终端速度的关系
(Serio, Maria A., et al. “Raindrop Size Distribution and Terminal Velocity for Rainfall Erosivity Studies. A Review.” Journal of Hydrology, vol. 576, 2019, pp. 210–228., doi:10.1016/j.jhydrol.2019.06.040.)
虽然作者给出了趋势线的公式，但我们可以方便点直接用大眼睛看图。当水滴直径为0.079cm时终端速度大概是2.7 ms-1.
把常量列一下：
把这些量代入方程：
画个图
x轴是人的速度，y轴是总淋雨质量
从图中可以看出，人跑得越快淋雨就越少。但仅在低速有明显减少，高速情况下没啥区别。
事实上，就算人跑得无限快，也至少会淋到一定量的雨水。当Vp趋近于无限时：
每项分开看，首先发现：
于是，含有三角函数的那一项变成常数：
0.9放进去一起再看剩下的：
由于：
所以：
无论跑的多快，至少也要淋0.9667kg的雨。
函数的渐近线
物理上验证：
极高速下的情况
根据上图，当人的速度极高时，雨滴可以视为静止。这个人就会“横扫”过路径上的所有水滴。因此，总质量为：
给出总扫过的雨气体积，ρ为雨气密度。
代入验证：
结果与之前一致。
结论：跑的快确实能减少淋到的雨，但是人是有极限的，跑的再快还是要淋雨。建议大家在不累死自己的前提下跑快点或者带把雨伞。
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